Σ.Μ.Α. 1974 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να απαλειφθεί το $\displaystyle{\alpha}$ μεταξύ των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} x(1+\eta\mu^2\alpha-\sigma\upsilon\nu \alpha)-y\eta\mu \alpha(1+\sigma\upsilon\nu \alpha)=\gamma(1+\sigma\upsilon\nu \alpha) \\ x\eta\mu\alpha\sigma\upsilon\nu \alpha-y(1+\sigma\upsilon\nu^2 \alpha)=-\gamma \eta\mu \alpha \end{cases}}$
αφού πρώτα υπολογιστούν τα $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ συναρτήσει του $\displaystyle{ \alpha}$ .

2. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και εσωτερικό του σημείο $\displaystyle{P}$ . Εαν $\displaystyle{x_1,x_2,x_3}$ είναι οι αποστάσεις $\displaystyle{PA,PB,P\Gamma}$ του $\displaystyle{P}$ από τις κορυφές $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ αντίστοιχα και $\displaystyle{\lambda,\mu,\nu}$ οι αποστάσεις $\displaystyle{P\Lambda,PM,PN}$ του $\displaystyle{P}$ από τις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma,\Gamma A,AB}$ αντίστοιχα, να δειχτεί οτι $\displaystyle{\lambda x_1+\mu x_2+\nu x_3\ge 2(\lambda\mu+\mu\nu+\nu\lambda)}$ .

3. Με δεδομένες τις πλευρές $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ και της ακτίνας $\displaystyle{R}$ του περιγεγραμμένου του κύκλου, να βρεθεί συναρτήσει αυτών η απόσταση του έκκεντρου από το ορθόκεντρο του τριγώνου.

4. Να επιλυθεί το σύστημα των ανισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} -\pi<x<\pi \\ 1+\eta\mu x+\eta\mu 2x+\eta\mu 3x\ge \sigma\upsilon\nu x-\sigma\upsilon\nu 2x +\sigma\upsilon\nu 3x \\ \displaystyle|x|-\eta\mu \left|\frac{x}{2}\right|- \varepsilon\phi \left|\frac{x}{2}\right|<0 \end{cases}}$

5. Εαν $\displaystyle{|\alpha-\beta|+|\beta-\gamma|+|\gamma-\alpha|\ne 0}$ με $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}}$ και το γραμμικό σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x\tau o \xi \sigma\phi \alpha+y\tau o \xi \sigma\phi \beta+z\tau o \xi \sigma\phi \gamma=0 \\ x\tau o \xi \sigma\phi \beta+y\tau o \xi \sigma\phi \gamma+z\tau o \xi \sigma\phi \alpha=0 \\ x\tau o \xi \sigma\phi \gamma+y\tau o \xi \sigma\phi \alpha+z\tau o \xi \sigma\phi \beta=0 \end{cases}}$
επιδέχεται και λύση διαφορετική της μηδενικής, να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1}$

apotin · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να απαλειφθεί το $\displaystyle{\alpha}$ μεταξύ των εξισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} x(1+\eta\mu^2\alpha-\sigma\upsilon\nu \alpha)-y\eta\mu \alpha(1+\sigma\upsilon\nu \alpha)=\gamma(1+\sigma\upsilon\nu \alpha) \\ x\eta\mu\alpha\sigma\upsilon\nu \alpha-y(1+\sigma\upsilon\nu^2 \alpha)=-\gamma \eta\mu \alpha \end{cases}}$
αφού πρώτα υπολογιστούν τα $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ συναρτήσει του $\displaystyle{ \alpha}$ .

Το σύστημα έχει:

$\displaystyle{D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \eta {\mu ^2}\alpha - \sigma \upsilon \nu \alpha }&{ - \eta \mu \alpha \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}\\ {\eta \mu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \alpha }&{ - \left( {1 + \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha } \right)} \end{array}} \right| = ... = - 2\left( {1 - \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}$

$\displaystyle{{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\gamma \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}&{ - \eta \mu \alpha \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}\\ { - \gamma \eta \mu \alpha }&{ - \left( {1 + \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha } \right)} \end{array}} \right| = ... = - 2\gamma \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}$

$\displaystyle{{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + \eta {\mu ^2}\alpha - \sigma \upsilon \nu \alpha }&{\gamma \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}\\ {\eta \mu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \alpha }&{ - \gamma \eta \mu \alpha } \end{array}} \right| = ... = - 2\gamma \eta \mu \alpha }$

$\bullet$ Αν $\displaystyle{D = 0 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \alpha = 1 \Rightarrow \eta \mu \alpha = 0}$ τότε $\displaystyle{{D_x} = - 4\gamma }$ και $\displaystyle{{D_y} = 0}$ .

Το σύστημα τότε είναι αδύνατο $\displaystyle{\left( {\gamma \ne 0} \right)}$ ή έχει άπειρες λύσεις $\displaystyle{\left( {\gamma = 0} \right)}$ της μορφής $\displaystyle{\left( {x,\,y} \right) = \left( {t,\;0} \right),\;t \in \mathbb{R}}$

$\bullet$ Αν $\displaystyle{D \ne 0}$ τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{\gamma \left( {1 + \sigma \upsilon \nu \alpha } \right)}}{{1 - \sigma \upsilon \nu \alpha }}\\ y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{\gamma \eta \mu \alpha }}{{1 - \sigma \upsilon \nu \alpha }} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu \alpha = \frac{{x - \gamma }}{{x + \gamma }}\\ \eta \mu \alpha = \frac{{2y}}{{x + \gamma }} \end{array} \right.}$

Η απαλείφουσα του συστήματος προκύπτει από την:

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha + \eta {\mu ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{{x - \gamma }}{{x + \gamma }}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2y}}{{x + \gamma }}} \right)^2} = 1 \Rightarrow ... \Rightarrow {y^2} = \gamma x}$

apotin · #3

parmenides51 έγραψε: 4. Να επιλυθεί το σύστημα των ανισώσεων $\displaystyle{ \begin{cases} -\pi<x<\pi \\ 1+\eta\mu x+\eta\mu 2x+\eta\mu 3x\ge \sigma\upsilon\nu x-\sigma\upsilon\nu 2x +\sigma\upsilon\nu 3x \\ \displaystyle|x|-\eta\mu \left|\frac{x}{2}\right|- \varepsilon\phi \left|\frac{x}{2}\right|<0 \end{cases}}$

$\displaystyle{\left( 2 \right) \Leftrightarrow \eta \mu x + \eta \mu 3x + \eta \mu 2x \ge \sigma \upsilon \nu x + \sigma \upsilon \nu 3x - \left( {1 + \sigma \upsilon \nu 2x} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\eta \mu 2x\sigma \upsilon \nu x + 2\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x \ge 2\sigma \upsilon \nu 2x\sigma \upsilon \nu x - 2\sigma \upsilon {\nu ^2}x \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x\left[ {\left( {\eta \mu 2x + \eta \mu x} \right) - \left( {\sigma \upsilon \nu 2x - \sigma \upsilon \nu x} \right)} \right] \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \cdot \eta \mu \frac{{3x}}{2}\left( {\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2} - \eta \mu \frac{x}{2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \cdot \eta \mu \frac{{3x}}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}\left( {\varepsilon \varphi \frac{x}{2} - 1} \right) \le 0}$

Έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων

: 1973.png (19.56 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Άρα η δεύτερη ανισότητα ισχύει για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3},\; - \frac{\pi }{2}} \right] \cup \left[ {0,\;\frac{{2\pi }}{3}} \right]}$

Για την τρίτη ανισότητα:

Γνωρίζουμε ότι για κάθε $\displaystyle{0 \le x \le \frac{\pi }{2}}$ ισχύει $\displaystyle{\eta \mu x \le x \le \varepsilon \varphi x}$ (βλέπε σχήμα)

Έτσι

$\displaystyle{ - \pi \le x \le \pi \Rightarrow 0 \le \left| {\frac{x}{2}} \right| \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \eta \mu \left| {\frac{x}{2}} \right| \le \left| {\frac{x}{2}} \right| \le \varepsilon \varphi \left| {\frac{x}{2}} \right|}$

Τότε έχουμε

$\displaystyle{\left| x \right| - \eta \mu \left| {\frac{x}{2}} \right| - \varepsilon \varphi \left| {\frac{x}{2}} \right| \le 2\left( {\left| {\frac{x}{2}} \right| - \varepsilon \varphi \left| {\frac{x}{2}} \right|} \right) \le 0}$

Οπότε η τρίτη αληθεύει για κάθε $\displaystyle{x \in \left( { - \pi ,\;0} \right) \cup \left( {0,\;\pi } \right)}$

Άρα τελικά $\displaystyle{x \in \left[ { - \frac{{2\pi }}{3},\; - \frac{\pi }{2}} \right] \cup \left( {0,\;\frac{{2\pi }}{3}} \right]}$

apotin · #4

parmenides51 έγραψε: 5. Εαν $\displaystyle{|\alpha-\beta|+|\beta-\gamma|+|\gamma-\alpha|\ne 0}$ $\displaystyle{(1)}$ με $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}}$ και το γραμμικό σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} x\tau o \xi \sigma\phi \alpha+y\tau o \xi \sigma\phi \beta+z\tau o \xi \sigma\phi \gamma=0 \\ x\tau o \xi \sigma\phi \beta+y\tau o \xi \sigma\phi \gamma+z\tau o \xi \sigma\phi \alpha=0 \\ x\tau o \xi \sigma\phi \gamma+y\tau o \xi \sigma\phi \alpha+z\tau o \xi \sigma\phi \beta=0 \end{cases}}$
επιδέχεται και λύση διαφορετική της μηδενικής, να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1}$

Έστω

$\displaystyle{\tau o\xi \sigma \varphi \alpha = \kappa \Rightarrow \sigma \varphi \kappa = \alpha }$
$\displaystyle{\tau o\xi \sigma \varphi \beta = \lambda \Rightarrow \sigma \varphi \lambda = \beta }$
$\displaystyle{\tau o\xi \sigma \varphi \gamma = \mu \Rightarrow \sigma \varphi \mu = \gamma }$

Τότε το σύστημα γράφεται

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \kappa x + \lambda y + \mu z = 0\\ \lambda x + \mu y + \kappa z = 0\\ \mu x + \kappa y + \lambda z = 0 \end{array} \right.}$

Επειδή το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα έχει ορίζουσα $\displaystyle{D=0}$

Τότε

$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \kappa &\lambda &\mu \\ \lambda &\mu &\kappa \\ \mu &\kappa &\lambda \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\kappa + \lambda + \mu }&\lambda &\mu \\ {\kappa + \lambda + \mu }&\mu &\kappa \\ {\kappa + \lambda + \mu }&\kappa &\lambda \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {\kappa + \lambda + \mu } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\lambda &\mu \\ 1&\mu &\kappa \\ 1&\kappa &\lambda \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {\kappa + \lambda + \mu } \right)\left( {{\kappa ^2} + {\lambda ^2} + {\mu ^2} - \kappa \lambda - \lambda \mu - \mu \kappa } \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {\kappa + \lambda + \mu } \right)\left[ {{{\left( {\kappa - \lambda } \right)}^2} + {{\left( {\lambda - \mu } \right)}^2} + {{\left( {\mu - \kappa } \right)}^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\kappa + \lambda + \mu = 0\;\;\; \vee \;\;\;\kappa = \lambda = \mu }$

Αν $\displaystyle{\kappa = \lambda = \mu \Rightarrow \sigma \varphi \kappa = \sigma \varphi \lambda = \sigma \varphi \mu \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma }$ που έρχεται σε αντίθεση με την $\displaystyle{(1)}$

Άρα $\displaystyle{\kappa + \lambda + \mu = 0 \Rightarrow \sigma \varphi \left( {\kappa + \lambda } \right) = \sigma \varphi \left( { - \mu } \right) \Rightarrow \frac{{\sigma \varphi \kappa \cdot \sigma \varphi \lambda - 1}}{{\sigma \varphi \lambda + \sigma \varphi \kappa }} = - \sigma \varphi \mu \Rightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \varphi \kappa \cdot \sigma \varphi \lambda + \sigma \varphi \lambda \cdot \sigma \varphi \mu + \sigma \varphi \mu \cdot \sigma \varphi \kappa = 1 \Rightarrow \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1}$

Σ.Μ.Α. 1974 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1974 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1974 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση