ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Παναγιωτουνάκος

1. Εαν $\displaystyle{u\ge 0, w\ge 0}$ να δείξετε οτι $\displaystyle{\frac{1}{3} u+\frac{1}{3} w\ge u^{\,\, \displaystyle \frac{1}{3}}w^{\,\, \displaystyle \frac{1}{3}}}$
με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{u=w}$ .

2. Εαν οι $\displaystyle{\mu,\nu,\mu',\nu'}$ είναι φυσικοί αριθμοί και ισχύει η σχέση $\displaystyle{(\mu+\nu) (\mu+\nu-1)+2\mu=(\mu'+\nu') (\mu'+\nu'-1)+2\mu' }$
τότε θα είναι $\displaystyle{\mu=\mu' }$ και $\displaystyle{\nu=\nu'}$ και αντιστρόφως.

3. α) Να προσδιοριστούν οι συντελεστές $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ ώστε οι δυο συναρτήσεις $\displaystyle{y=\frac{\alpha x+1}{\beta x +\gamma}}$ και $\displaystyle{y=\alpha x^2+\beta x+\gamma }$
να επαληθεύονται συγχρόνως από τρια σημεία $\displaystyle{m_1(1,y_1), m_2(-1,y_2), m_3(x_3,y_3)}$
όπου $\displaystyle{x_3}$ είναι η τιμή του x για την οποία το $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma}$ γίνεται μέγιστο ή ελάχιστο
και $\displaystyle{y_3}$ είναι το μέγιστο ή ελάχιστο του $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma}$ .
β) Να παρασταθούν μετά από αυτά γραφικώς οι παραπάνω συναρτήσεις σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

4. Να δείξετε οτι για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ όπου $\displaystyle{|x|> |y|}$
αληθεύει η ανισότητα $\displaystyle{\frac{|x|}{|x+y|}+\frac{|y|}{|x-y|}+\frac{|x|}{|x|-|y|}-\frac{|y|}{||x|-|y||}\ge 2}$ .

Υ.Γ. Σύμφωνα με το Ετήσιο Δελτίο του Πάλλα το ερώτημα 4 ήταν λανθασμένο γιατί είχε δοθεί με την εξής διατύπωση

να δείξετε οτι για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ , απολύτως άνισες
αληθεύει η ανισότητα $\displaystyle{\frac{|x|}{|x+y|}+\frac{|y|}{|x-y|}+\frac{|x|}{|x|-|y|}-\frac{|y|}{||x|-|y||}\ge 2}$

το δε λάθος φαίνεται με το αντιπαράδειγμα αντικαθιστώντας $\displaystyle{x=0, y=1}$
Ήταν ένα από τα 6 θέματα των εισαγωγικών εξετάσεων του ΕΜΠ το 1962 για τα οποία κατέθεσε μήνυση ο Αριστείδης Πάλλας
στο Συμβούλιο της Επικρατείας και ζητούσε την ακύρωση των τότε εξετάσεων. Το μέρος του πήρε η ΕΜΕ τότε.
Περισσότερα προσεχώς αφού ανέβουν και τα 6 θέματα.
Προτροπή: Αναζητήστε την ''Μαύρη Βίβλο των Εισαγωγικών Εξετάσεων του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου κατά Σεπτέμβριον 1962''
του Αριστείδου Φ. Πάλλα (περιέχει το ιστορικό των ακυρωθέντων θεμάτων και δημοσιεύματα εφημερίδων της εποχής)
Για να το διαβάσετε έχει 4 αντίτυπα η μη δανειστική Μπενάκειος Βιβλιοθήκη
η οποία στεγάζεται προς το παρόν στο Πρώην Δημόσιο Καπνεργοστάσιο (Λένορμαν 218, Αθήνα)
Τους κωδικούς τους βλέπετε με την αναζήτηση ''Η μαύρη βίβλος των εισαγωγικών εξετάσεων'' εδώ
Ώρες λειτουργίας: Δευτέρα και Τετάρτη 9:00-18:00, Τρίτη, Πέμπτη και Παρασκευή 9:00-15:00, Σάββατο 9:00-14:00
Επικοινωνία: (Αναγνωστήριο) 210 510 2059
Πληροφορίες εδώ

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Να δείξετε οτι για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ όπου $\displaystyle{|x|> |y|}$
αληθεύει η ανισότητα $\displaystyle{\frac{|x|}{|x+y|}+\frac{|y|}{|x-y|}+\frac{|x|}{|x|-|y|}-\frac{|y|}{||x|-|y||}\ge 2}$ .

εδώ

ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1962 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση