ΧΗΜΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1963

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Πλακίδης - Ζερβός

1. Υποτίθεται οτι
α) η με πραγματικούς συντελεστές εξίσωση $\displaystyle{x^2+2\beta x+\gamma=0}$ δεν έχει πραγματικές ρίζες
β) το με πραγματικούς συντελεστές σύστημα $\displaystyle{\begin{cases} \lambda_1y+\mu_1 z=\delta_1 \\ \lambda_2y+\mu_2 z=\delta_2 \end{cases}}$ έχει περισσότερες από τέσσερις διαφορετικές λύσεις
γ) η αλγεβρική παράσταση $\displaystyle{f(\sigma,\tau,\omega)}$ είναι άθροισμα γινομένων άρτιων δυνάμεων των μεταβλητών $\displaystyle{\sigma,\tau,\omega}$ .
Ζητείται να δειχτεί οτι για κάθε τριάδα $\displaystyle{(\sigma_o,\tau_o,\omega_o)}$ πραγματικών αρ. τιμών των $\displaystyle{\sigma,\tau,\omega}$ ισχύει η ανισότητα
$\displaystyle{\frac{\gamma}{2}+\frac{f(\sigma_o,\tau_o,\omega_o) }{\gamma}-\frac{\beta^2}{5}>(\sigma_o^2+\omega_o^2)(\lambda_1\delta_2-\lamnda_2\delta_1)^3\cdot 2^3}$

2. Να λυθεί η τριγωνομετρική εξίσωση $\displaystyle{380\phi^3+260\phi^2+\phi=\eta\mu\phi}$ .
Ο υπολογισμός των τόξων $\displaystyle{\phi}$ γίνεται σε ακτίνια και ενδιαφερόμαστε μόνο για τις ρίζες $\displaystyle{\phi \ge 0}$ .

3. Εντός τρισδιάστατου Ευκλείδειο χώρου δίνεται η άπειρη ακολουθία τετραέδρων $\displaystyle{A_oB_o\Gamma_o\Delta_o,A_1B_1\Gamma_1\Delta_1,A_2B_2\Gamma_2\Delta_2,...,A_{\nu}B_{\nu}\Gamma_{\nu}\Delta_{\nu}}$ για την οποία υποθέτουμε οτι :
α) τα σημεία $\displaystyle{A_o,B_o,\Gamma_o }$ και $\displaystyle{\Delta_o}$ είναι διαφορετικά μεταξύ τους και μη συνεπίπεδα
β) οι κορυφές των $\displaystyle{A_{\nu+1}B_{\nu+1}\Gamma_{\nu+1}\Delta_{\nu+1}}$ ( $\displaystyle{\nu=0,1,2,...}$ ) είναι αντίστοιχα τα σημεία τομής των διαμέσων των τριγώνων $\displaystyle{B_{\nu}\Gamma_{\nu}\Delta_{\nu},\Gamma_{\nu}\Delta_{\nu}A_{\nu},\Delta_{\nu}A_{\nu}B_{\nu},A_{\nu}B_{\nu}\Gamma_{\nu}}$ .
Ζητείται να δειχθεί οτι υπάρχει σημείο του χώρου, το οποίο περιέχεται σε όλα τα τετράεδρα της ακολουθίας. Πόσα τέτοια σημεία υπάρχουν;

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Να λυθεί η τριγωνομετρική εξίσωση $\displaystyle{380\phi^3+260\phi^2+\phi=\eta\mu\phi}$ .
Ο υπολογισμός των τόξων $\displaystyle{\phi}$ γίνεται σε ακτίνια και ενδιαφερόμαστε μόνο για τις ρίζες $\displaystyle{\phi \ge 0}$ .

Για κάθε $\phi\geq 0$ έχουμε $\eta\mu\phi\leq |\eta\mu\phi|\leq |\phi|=\phi$ και η ισότητα 1ου τελευταίου ισχύει μόνο για $\phi=0$ .

Είναι $380\phi^3+260\phi^2+\phi\geq \phi \geq \eta\mu\phi$ με τις ισότητες να ισχύουν μόνο για $\phi=0$ .

Άρα $380\phi^3+260\phi^2+\phi=\eta\mu\phi\iff \phi=0$ .

ΧΗΜΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1963

ΧΗΜΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1963

Re: ΧΗΜΙΚΟ ΑΘΗΝΩΝ 1963

Μέλη σε σύνδεση