ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Σ. Σαραντόπουλος

1. Να προσδιοριστούν οι $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{(x-\alpha)x^2-(\beta x-\gamma)(x-\alpha)=0}$ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, των οποίων το άθροισμα των όρων είναι $\displaystyle{\frac{15}{2}}$ και των γινόμενων των άκρων όρων είναι $\displaystyle{4}$ .

2. Εαν οι αριθμοί $\displaystyle{2}$ και $\displaystyle{3}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}$ , να βρεθεί μεταξύ ποιων ορίων μπορεί να μεταβάλλεται ο $\displaystyle{\alpha}$ , όταν τα $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\gamma}$ παίρνουν πραγματικές τιμές κι επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{[\beta+4\beta(\beta+\gamma)+\gamma^2]^2<(\beta+\gamma)^2}$ .

3. Για την εκτέλεση κάποιου έργου $\displaystyle{10.500}$ άτομα πλήρωσαν $\displaystyle{120}$ δρχ. έκαστος. Από το συνολικό ποσό που εισπράχθηκε το $\displaystyle{10\% }$ χρησιμοποιήθηκε για διάφορα έξοδα του έργου και τα $\displaystyle{70\%}$ διατέθησαν ως αμοιβή των κύριων εκτελεστών του έργου. Τέλος από τα υπόλοιπα $\displaystyle{20\%}$ , το $\displaystyle{55\%}$ αυτών δόθηκε σε μια ομάδα τακτικών υπαλλήλων, το $\displaystyle{45\%}$ ως αμοιβή μιας άλλης ομάδας έκτακτων υπαλλήλων. Ζητείται η αμοιβή καθενός ατόμου, εαν γνωρίζουμε οτι οι κύριοι εκτελεστές του έργου ήταν $\displaystyle{40}$ , οι τακτικοί υπάλληλοι $\displaystyle{15}$ και οι έκτακτοι $\displaystyle{135}$ , δοθέντος οτι τα πρόσωπα κάθε ομάδας έλαβαν την ίδια αμοιβή.

Υ.Γ. Για να γράψω σε $\displaystyle{\LaTeX}$ το συμβολο του ποσοστού , βάζω πλάγια γραμμή ακριβώς πριν πχ. 5\% και βγαίνει $\displaystyle{5\%}$

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Σ. Σαραντόπουλος
2. Εαν οι αριθμοί $\displaystyle{2}$ και $\displaystyle{3}$ είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{\alpha x^2+\beta x+\gamma=0}$ , να βρεθεί μεταξύ ποιων ορίων μπορεί να μεταβάλλεται ο $\displaystyle{\alpha}$ , όταν τα $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\gamma}$ παίρνουν πραγματικές τιμές κι επαληθεύουν την ανισότητα $\displaystyle{[\beta+4\beta(\beta+\gamma)+\gamma^2]^2<(\beta+\gamma)^2}$ .

Η εξίσωση γράφεται a(x-2)(x-3)=0

ή

, $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ .
Άρα b=-5a

και $\gamma=6a$

$\displaystyle{\left[ {\beta + 4\beta (\beta + \gamma ) + {\gamma ^2}} \right] < {(\beta + \gamma )^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{\left[ { - 5\alpha - 20{\alpha ^2} + 36{\alpha ^2}} \right]^2} < {\alpha ^2} \Leftrightarrow {\alpha ^2}{(16 - 5\alpha )^2} < {\alpha ^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left| {16 - 5\alpha } \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < 16\alpha - 5 < 1 \Leftrightarrow \frac{1}{4} < \alpha < \frac{3}{8}}$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Σ. Σαραντόπουλος

1. Να προσδιοριστούν οι $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{(x-\alpha)x^2-(\beta x-\gamma)(x-\alpha)=0}$ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, των οποίων το άθροισμα των όρων είναι $\displaystyle{\frac{15}{2}}$ και των γινόμενων των άκρων όρων είναι $\displaystyle{4}$ .

Η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{{x^3} - (\alpha + \beta ){x^2} + (\alpha \beta + \gamma )x - \alpha \gamma = 0}$ .

Έστω $\displaystyle{{x_1} = k - \omega ,{x_2} = k,{x_3} = k + \omega }$ οι ρίζες της εξίσωσης. Από υπόθεση έχουμε:

$\displaystyle{k - \omega + k + k + \omega = \frac{{15}}{2} \Leftrightarrow k = \frac{5}{2}}$ και $\displaystyle{(k - \omega )(k - \omega ) = 4 \Leftrightarrow {\omega ^2} = \frac{{25}}{4} - 4 \Leftrightarrow \omega = \pm \frac{3}{2}}$ .

Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι με τη σειρά $\displaystyle{\left( {1,\frac{5}{2},4} \right)}$ ή $\displaystyle{\left( {4,\frac{5}{2},1} \right)}$ .

Σε κάθε περίπτωση από του τύπους Vieta έχουμε:

$\displaystyle{\alpha + \beta = \frac{{15}}{2},\alpha \gamma = 10,\alpha \beta + \gamma = \frac{{33}}{2}}$ .

Λύνοντας της 1η εξίσωση ως προς $\displaystyle{\beta }$ , τη 2η ως προς $\displaystyle{\gamma }$ και αντικαθιστώντας στην 3η, έχουμε:

$\displaystyle{\alpha \left( {\frac{{15}}{2} - \alpha } \right) + \frac{{10}}{\alpha } = \frac{{33}}{2} \Leftrightarrow 2{\alpha ^3} - 15{\alpha ^2} + 33\alpha - 20 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{\alpha ^3} - 2{\alpha ^2} - 13{\alpha ^2} + 13\alpha + 20\alpha - 20 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{\alpha ^2}(\alpha - 1) - 13\alpha (\alpha - 1) + 20(\alpha - 1) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(\alpha - 1)(2{\alpha ^2} - 13\alpha + 20) = 0 \Leftrightarrow (\alpha - 1)(\alpha - 4)(2\alpha - 5) = 0}$ .

Οπότε, a=1

,

, $\displaystyle{a = \frac{5}{2}}$ .

Επομένως, $(a,\beta,\gamma)=$ $\displaystyle{\left( {1,\frac{{13}}{2},10} \right) \vee \left( {4,\frac{7}{2},\frac{5}{2}} \right) \vee \left( {\frac{5}{2},5,4} \right)}$

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΑΘΗΝΩΝ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Μέλη σε σύνδεση