ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Α. Μαράτος - Η. Θεοφιλόπουλος

1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{|\alpha|}{|\beta+\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma+\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha+\beta|}\ge \frac{3}{2}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί.

2. Να δειχθεί οτι για τους πραγματικούς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,x,y,z}$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}$

3. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\mu x-1}{x-1}+\frac{\nu}{x+1}=\frac{\mu(x^2+1)}{x^2-1}}$ για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων $\displaystyle{\mu}$ και $\displaystyle{\nu}$ .

4. α) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης $\displaystyle{2x^5+3x^4-2x^3-x^2+3x+1}$ όπου $\displaystyle{x}$ πραγματικός διάφορος του μηδενός που ικανοποιεί την ισότητα $\displaystyle{\frac{1}{x}=1-x^2}$ .
β) Να δειχθεί οτι η παράσταση $\displaystyle{\frac{x^2}{(x-\alpha)(x-\beta)}+\frac{\alpha^2}{(\alpha-\beta)(\alpha-x)}+\frac{\beta^2}{(\beta-\alpha)(\beta-x)}}$ είναι ανεξάρτητη των πραγματικών $\displaystyle{x,\alpha,\beta}$ .

5. α) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Langrange για δυο τριάδες διάφορες του μηδενός πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(\alpha,\beta,\gamma)}$ και $\displaystyle{(x,y,z)}$ .
i) Να αποδείξετε οτι στο γινόμενο δυο αθροισμάτων, καθένα από τα οποία είναι άθροισμα τριων τετραγώνων είναι άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων
ii Να αποδείξετε οτι ισχύει $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}$
iii) Να βρείτε ποια σχέση πρέπει να συνδέει τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,x,y,z}$ ώστε η παραπάνω σχέση να είναι μόνο ισότητα.
β) Να αποδείξετε , εφαρμόζοντας την ταυτότητα του Langrange για $\displaystyle{2\nu}$ πραγματικούς αριθμούς οτι $\displaystyle{A<(\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{\nu})^2<\nu A}$ όπου $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{\nu}}$ είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός και διαφορετικοί μεταξύ τους συνδεόμενοι με το $\displaystyle{A}$ με την σχέση $\displaystyle{\alpha_1^2+\alpha_2^2+...+\alpha_{\nu}^2=A}$ .

styt_geia · #2

parmenides51 έγραψε: 1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{|\alpha|}{|\beta+\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma+\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha+\beta|}\ge \frac{3}{2}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί.

Είναι

$\displaystyle \frac{|\alpha|}{|\beta+\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma+\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha+\beta|}\ge \frac{|\alpha|}{|\beta|+|\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma|+|\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha|+|\beta|}$

και από την ανισότητα Cauchy - Schwarz προκύπτει ότι

$\displaystyle \left(\frac{|\alpha|}{|\beta|+|\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma|+|\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha|+|\beta|}\right)\left(|\beta|+|\gamma|+|\gamma|+|\alpha|+|\alpha|+|\beta|\right) \geq \left( \sqrt{|\alpha|}+ \sqrt{|\beta|}+ \sqrt{|\gamma|} \right)^2 \Rightarrow$
$\displaystyle \frac{|\alpha|}{|\beta|+|\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma|+|\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha|+|\beta|} \geq \frac{ \left( \sqrt{|\alpha|}+ \sqrt{|\beta|}+ \sqrt{|\gamma|} \right)^2}{2 \left( |\alpha|+|\beta|+|\gamma| \right) }$

οπότε αρκεί να δείξω ότι

$\displaystyle \frac{ \left( \sqrt{|\alpha|}+ \sqrt{|\beta|}+ \sqrt{|\gamma|} \right)^2}{ |\alpha|+|\beta|+|\gamma| } \geq 3 \Leftrightarrow \left( \sqrt{|\alpha|}-\sqrt{|\beta|} \right)^2 + \left( \sqrt{|\beta|}-\sqrt{|\gamma|} \right)^2 + \left( \sqrt{|\alpha|}-\sqrt{|\gamma|} \right)^2 \geq 0$

που ισχύει.

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Α. Μαράτος - Η. Θεοφιλόπουλος

1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\frac{|\alpha|}{|\beta+\gamma|}+\frac{|\beta|}{|\gamma+\alpha|}+\frac{|\gamma|}{|\alpha+\beta|}\ge \frac{3}{2}}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί.

εδώ

#4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Α. Μαράτος - Η. Θεοφιλόπουλος

2. Να δειχθεί οτι για τους πραγματικούς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,x,y,z}$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}$

Από την ταυτότητα του Lagrange έχουμε:

$\displaystyle{({\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2})({x^2} + {y^2} + {z^2}) - {(ax + \beta y + \gamma z)^2} = {(ay - \beta x)^2} + {(az - \gamma x)^2} + {(\beta z - \gamma y)^2} \ge 0}$

Άρα $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}$

Σημείωση: Μου κάνει εντύπωση ότι στο 5ο θέμα στο ερώτημα ii) ζητάει πάλι το ίδιο. Θα μπορούσαν κάλλιστα να παραλείψουν όλο το δεύτερο θέμα ή να το αντικαταστήσουν με κάποιο άλλο.

Christos.N · #5

parmenides51 έγραψε:
4. α) Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης $\displaystyle{2x^5+3x^4-2x^3-x^2+3x+1}$ όπου $\displaystyle{x}$ πραγματικός διάφορος του μηδενός που ικανοποιεί την ισότητα $\displaystyle{\frac{1}{x}=1-x^2}$ .
β) Να δειχθεί οτι η παράσταση $\displaystyle{\frac{x^2}{(x-\alpha)(x-\beta)}+\frac{\alpha^2}{(\alpha-\beta)(\alpha-x)}+\frac{\beta^2}{(\beta-\alpha)(\beta-x)}}$ είναι ανεξάρτητη των πραγματικών $\displaystyle{x,\alpha,\beta}$ .

α) Έστω

η ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{\frac{1}{x}=1-x^2}$ .

$\displaystyle{ \begin{array}{l} 2r^5 + 3r^4 - 2r^3 - r^2 + 3r + 1 = 2r^3 \left( {r^2 - 1} \right) + 3r^4 - x^2 + 3r + 1\mathop = \limits^{r^2 - 1 = - \frac{1}{r}} - 3r^2 + 3r^4 + 3r + 1 = \\ = - 3r^2 \left( {1 - r^2 } \right) + 3r + 1\mathop = \limits^{1 - r^2 = \frac{1}{r}} 1 \\ \end{array} }$

β)

$\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}} + \frac{{a^2 }}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - x} \right)}} + \frac{{b^2 }}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - x} \right)}} = \frac{{x^2 \left( {a - b} \right) - a^2 \left( {x - b} \right) + b^2 \left( {x - a} \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{x^2 \left( {a - b} \right) + (b^2 - a^2 )x + ab(a - b)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {x^2 - \left( {a + b} \right)x + ab} \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)}}{{\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = `1 }$

Οι απαντήσεις του θέματος αυτού υπήρξε τραγούδι γνωστής τραγουδίστριας πριν πολλά χρόνια , φήμες λένε ότι εμπνεύστηκε από αυτές τις εξετάσεις ο στιχουργός του...

#6

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Α. Μαράτος - Η. Θεοφιλόπουλος

3. Να λυθεί και να διερευνηθεί η εξίσωση $\displaystyle{\frac{\mu x-1}{x-1}+\frac{\nu}{x+1}=\frac{\mu(x^2+1)}{x^2-1}}$ για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων $\displaystyle{\mu}$ και $\displaystyle{\nu}$ .

Για $\displaystyle{x \ne \pm 1}$ η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{(\mu x - 1)(x + 1) + \nu (x - 1) = \mu {x^2} + \mu }$

$\displaystyle{\mu {x^2} + \mu x - x - 1 + \nu x - \nu = \mu {x^2} + \mu }$

$\displaystyle{(\mu + \nu - 1)x = \mu + \nu + 1}$

● Αν $\displaystyle{\mu + \nu \ne 1}$ , η εξίσωση έχει μία λύση $\displaystyle{x = \frac{{\mu + \nu + 1}}{{\mu + \nu - 1}}}$ .

Είναι όμως $\displaystyle{x \ne \pm 1}$ .

$\displaystyle{\frac{{\mu + \nu + 1}}{{\mu + \nu - 1}} \ne - 1 \Leftrightarrow \mu + \nu \ne 0}$

(Για καμία τιμή των $\displaystyle{\mu ,\nu }$ το

δεν παίρνει την τιμή

). Άρα η παραπάνω λύση ισχύει για $\displaystyle{\mu + \nu \ne 1}$ και $\displaystyle{\mu + \nu \ne 0}$ .

● Αν $\displaystyle{\mu + \nu = 1}$ , η εξίσωση γράφεται 0x=2

, που είναι αδύνατη

#7

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Α. Μαράτος - Η. Θεοφιλόπουλος

5. α) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Langrange για δυο τριάδες διάφορες του μηδενός πραγματικών αριθμών $\displaystyle{(\alpha,\beta,\gamma)}$ και $\displaystyle{(x,y,z)}$ .
i) Να αποδείξετε οτι στο γινόμενο δυο αθροισμάτων, καθένα από τα οποία είναι άθροισμα τριων τετραγώνων είναι άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων
ii Να αποδείξετε οτι ισχύει $\displaystyle{(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)(x^2+y^2+z^2)\ge (\alpha x+\beta y+\gamma z)^2}$
iii) Να βρείτε ποια σχέση πρέπει να συνδέει τους αριθμούς $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,x,y,z}$ ώστε η παραπάνω σχέση να είναι μόνο ισότητα.
β) Να αποδείξετε , εφαρμόζοντας την ταυτότητα του Langrange για $\displaystyle{2\nu}$ πραγματικούς αριθμούς οτι $\displaystyle{A<(\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_{\nu})^2<\nu A}$ όπου $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{\nu}}$ είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός και διαφορετικοί μεταξύ τους συνδεόμενοι με το $\displaystyle{A}$ με την σχέση $\displaystyle{\alpha_1^2+\alpha_2^2+...+\alpha_{\nu}^2=A}$ .

Ξεκινάω από το α.iii)

$\displaystyle{({\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2})({x^2} + {y^2} + {z^2}) - {(ax + \beta y + \gamma z)^2} = {(ay - \beta x)^2} + {(az - \gamma x)^2} + {(\beta z - \gamma y)^2}}$

Για να ισχύει η ισότητα πρέπει το δεύτερο μέλος της ταυτότητας του Lagrange να είναι μηδέν. Δηλαδή:
$\displaystyle{{(ay - \beta x)^2} + {(az - \gamma x)^2} + {(\beta z - \gamma y)^2} \Leftrightarrow ay = \beta x}$ και $\displaystyle{az = \gamma x}$ και $\displaystyle{\beta z = \gamma y}$ .

β) $\displaystyle{\left( {\alpha _1^2 + \alpha _2^2 + \alpha _3^2 + ... + \alpha _\nu ^2} \right)\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2} + ... + {1^2}} \right) - {\left( {{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + ... + {\alpha _\nu }} \right)^2} > 0}$

Άρα $\displaystyle{\nu {\rm A} > {\left( {{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + ... + {\alpha _\nu }} \right)^2}}$

(Το δεύτερο μέλος της παραπάνω ταυτότητας είναι το άθροισμα των τετραγώνων όλων των οριζουσών δεύτερης τάξης που προέρχονται από τον πίνακα $\displaystyle{2{\rm{x}}\nu }$ με πρώτη γραμμή $\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\alpha _2}}&{{\alpha _3}...}&{{\alpha _\nu }} \end{array}}$ και δεύτερη γραμμή $\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{1...}&1 \end{array}}$

Το άλλο σκέλος της ανίσωσης δεν είναι σωστό. Δεν ισχύει πάντα
$\displaystyle{\alpha _1^2 + \alpha _2^2 + \alpha _3^2 + ... + \alpha _\nu ^2 < {\left( {{\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + ... + {\alpha _\nu }} \right)^2}}$

π.χ $\displaystyle{{1^2} + {( - 2)^2} + {3^2} > {(1 - 2 + 3)^2}}$

Εδώ θα έπρεπε να δώσουν ότι οι αριθμοί είναι θετικοί ή τουλάχιστον ομόσημοι.

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΜΙΚΡΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση