ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1963 ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Προεκτείνουμε την $\displaystyle{AB}$ κατά τμήμα $\displaystyle{AN>AB }$ και την $\displaystyle{B\Gamma}$ κατά μήκος $\displaystyle{\Gamma M=AN}$ . Κατασκευάζουμε παραλληλόγραμμο $\displaystyle{\Delta N EM}$ και ζητείται να αποδειχθεί οτι αυτό είναι τετράγωνο.

2. Εαν ένα ύψος είναι τριπλάσιο της ακτίνας του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί το ύψος αυτό είναι είναι αριθμητικός μέσος των άλλων δυο πλευρών.

3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των συμμετρικών δοθέντος σημείου $\displaystyle{A}$ ως προς τις ευθείες οι οποίες διέρχονται από άλλο δοθέν σημείο $\displaystyle{B}$ .

Γιώργος Απόκης · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Εαν ένα ύψος είναι τριπλάσιο της ακτίνας του εγγεγραμμένου του κύκλου, τότε η πλευρά στην οποία αντιστοιχεί το ύψος αυτό είναι είναι αριθμητικός μέσος των άλλων δυο πλευρών.

Έστω ότι $\displaystyle{U_a=3\rho}$ . Για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε

$\displaystyle{E=\frac{1}{2}aU_a=\frac{3}{2}a\rho}$ αλλά και $\displaystyle{E=\tau \rho}$ . Επομένως

$\displaystyle{\frac{3}{2}a\rho=\tau \rho\Rightarrow \frac{3a}{2}=\frac{a+\beta+\gamma}{2}\Rightarrow 3a=a+\beta+\gamma\Rightarrow 2a=\beta+\gamma}$

από όπου προκύπτει το ζητούμενο

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Προεκτείνουμε την $\displaystyle{AB}$ κατά τμήμα $\displaystyle{AN>AB }$ και την $\displaystyle{B\Gamma}$ κατά μήκος $\displaystyle{\Gamma M=AN}$ . Κατασκευάζουμε παραλληλόγραμμο $\displaystyle{\Delta N EM}$ και ζητείται να αποδειχθεί οτι αυτό είναι τετράγωνο.

Τα ορθ. τρίγωνα ${\rm A}{\rm N}\Delta$ και $\Delta \Gamma {\rm M}$ είναι ίσα αφού έχουν:

${\rm A}\Delta = \Delta \Gamma$ ως πλευρές τετραγώνου και ${\rm A}{\rm N} = \Gamma {\rm M}$ από την υπόθεση.

Έτσι $\widehat {\Gamma \Delta {\rm M}} = \widehat {{\rm A}\Delta {\rm N}}\;\left( 1 \right)$ και $\Delta {\rm N} = \Delta {\rm M}\;\left( 2 \right)$

$\widehat {{\rm N}\Delta {\rm M}} = \widehat {{\rm N}\Delta \Gamma } + \widehat {\Gamma \Delta {\rm M}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \widehat {{\rm N}\Delta {\rm M}} = \widehat {{\rm N}\Delta \Gamma } + \widehat {{\rm A}\Delta {\rm N}} \Leftrightarrow \widehat {{\rm N}\Delta {\rm M}} = 90^\circ \;\left( 3 \right)$

Από $\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ έπεται ότι το $\Delta {\rm N}{\rm E}{\rm M}$ είναι τετράγωνο

#4

parmenides51 έγραψε:3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των συμμετρικών δοθέντος σημείου $\displaystyle{A}$ ως προς τις ευθείες οι οποίες διέρχονται από άλλο δοθέν σημείο $\displaystyle{B}$ .

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γ.τόπος Σφαίρα 1.PNG (157.67 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Έστω η $\displaystyle{(e)}$ μια τυχαία ευθεία του χώρου η οποία διέρχεται από το σταθερό σημείο $\displaystyle{B}$ και

έστω ακόμα $\displaystyle{M}$ το συμμετρικό του σταθερού σημείου $\displaystyle{A}$ ως προς την $\displaystyle{(e)}$ .

Τότε η ευθεία $\displaystyle{(e)}$ θα είναι μεσοκάθετη της $\displaystyle{AM}$ και συνεπώς:

$\displaystyle{BM=BA=ct \ \ (1)}$ .

Άρα από την (1) προκύπτει ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ θα ανήκει σε σφαίρα

$\displaystyle{S(B,AB)}$

Σημείωση:

Στο σχήμα χαράχτηκαν και επιπλέον στοιχεία, όπως ο γ.τ του μέσου $\displaystyle{S}$ του τμήματος $\displaystyle{AM}$ που είναι η σφαίρα $\displaystyle{S(O,AB/2)}$

καθώς και οι τομές των σφαιρών αυτών με το οριζόντιο επίπεδο καθώς και με το επίπεδο που ορίζεται από το σημείο $\displaystyle{A}$ και την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ .

Κώστας Δόρτσιος

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1963 ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1963 ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1963 ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1963 ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1963 ΠΛΟΙΑΡΧΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση