ΔΟΚΙΜΩΝ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Λελεκόπουλος

1. Δίνεται κύκλος $\displaystyle{O}$ και δυο σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{Z}$ του επιπέδου του. Να βρεθεί στον κύκλο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ , τέτοιο ώστε οι ευθείες $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ και $\displaystyle{\Gamma Z}$ που το συνδέουν με τα σημεία $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{Z}$ , να τέμνουν τον κύκλο αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ , ορίζοντας χορδή $\displaystyle{AB}$ παράλληλη προς την $\displaystyle{\Delta Z}$ .

2. Από δοθέν σημείο $\displaystyle{\Delta}$ που βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου κέντρου $\displaystyle{O}$ κι ακτίνας $\displaystyle{R}$ , φέρνουμε τυχαία χορδή $\displaystyle{B\Delta\Gamma}$ και κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με υποτείνουσα την $\displaystyle{B\Gamma}$ και κορυφή $\displaystyle{A}$ που προβάλλεται πάνω στην $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής $\displaystyle{A}$ .

3. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα σχετικά με το εμβαδόν σφαιρικής ζώνης.

4. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma}$ ορθογώνιο τρίγωνο και $\displaystyle{\Delta E}$ κάθετη στην υποτείνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ σε τυχαίο σημείο της $\displaystyle{\Delta}$ , που τέμνει την $\displaystyle{A\Gamma}$ , τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ κύκλο και την $\displaystyle{AB}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{E,Z}$ και $\displaystyle{\Theta}$ . Να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{ \Delta Z^2=\Delta \Theta \cdot \Delta E}$ .

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Λελεκόπουλος

4. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma}$ ορθογώνιο τρίγωνο και $\displaystyle{\Delta E}$ κάθετη στην υποτείνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ σε τυχαίο σημείο της $\displaystyle{\Delta}$ , που τέμνει την $\displaystyle{A\Gamma}$ , τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma }$ κύκλο και την $\displaystyle{AB}$ αντίστοιχα στα σημεία $\displaystyle{E,Z}$ και $\displaystyle{\Theta}$ . Να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{ \Delta Z^2=\Delta \Theta \cdot \Delta E}$ .

: Δοκίμων1963.png (15.78 KiB) Προβλήθηκε 770 φορές

Το τρίγωνο $BZ\Gamma$ είναι ορθογώνιο και το $Z\Delta$ είναι ύψος του. Άρα $\displaystyle{{\rm Z}{\Delta ^2} = \Delta \Gamma \cdot \Delta {\rm B}}$ (1)

Το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}\Delta \Gamma \Theta }$ είναι εγγράψιμο (η $\displaystyle{\Gamma \Theta }$ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ορθές γωνίες), οπότε $\displaystyle{\widehat \Gamma = \widehat \Theta }$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα λοιπόν, $\displaystyle{\Delta {\rm E}\Gamma ,\Delta {\rm B}\Theta }$ , είναι όμοια:

$\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{{\Gamma \Delta }}{{\Delta \Theta }} \Leftrightarrow \Gamma \Delta \cdot \Delta {\rm B} = \Delta {\rm E} \cdot \Delta \Theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \Delta {{\rm Z}^2} = \Delta {\rm E} \cdot \Delta \Theta }$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Λελεκόπουλος

2. Από δοθέν σημείο $\displaystyle{\Delta}$ που βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου κέντρου $\displaystyle{O}$ κι ακτίνας $\displaystyle{R}$ , φέρνουμε τυχαία χορδή $\displaystyle{B\Delta\Gamma}$ και κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με υποτείνουσα την $\displaystyle{B\Gamma}$ και κορυφή $\displaystyle{A}$ που προβάλλεται πάνω στην $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής $\displaystyle{A}$ .

: Δοκίμων1963.3png.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 739 φορές

Έστω

ένα σημείο του γεωμετρικού τόπου. Το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο και $A\Delta$ είναι το ύψος του. Άρα $A\Delta^2=(\Delta B)(\Delta \Gamma)$ .
Έστω $P, \Sigma$ τα σημεία τομής της $O\Delta$ με τον κύκλο (O,R)

.
Τότε θα είναι $(\Delta B)(\Delta \Gamma)=(\Delta P)(\Delta \Sigma)=R^2-O\Delta^2$ .

Άρα το

απέχει από το σταθερό σημείο $\Delta$ , απόσταση σταθερή ίση με $\displaystyle{\sqrt {{R^2} - {\rm O}{\Delta ^2}} }$ , οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος θα είναι ο κύκλος $\displaystyle{(C):\left( {\Delta ,\sqrt {{R^2} - {\rm O}{\Delta ^2}} } \right)}$

ΔΟΚΙΜΩΝ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΔΟΚΙΜΩΝ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΔΟΚΙΜΩΝ 1963 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση