Σ.Μ.Α. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι το άθροισμα $\displaystyle{ \tau o \xi \eta\mu x+3\tau o \xi \sigma\upsilon\nu x+\tau o \xi \eta\mu (2x\sqrt{1-x^2}) }$ για $\displaystyle{x^2<\frac{1}{2}}$ είναι ανεξάρτητο του $\displaystyle{x}$ .

2. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ AB\Gamma}$ , του οποίου οι πλευρές με την σειρά $\displaystyle{(AB)=\alpha-\kappa, (B\Gamma)=\alpha, (\Gamma A)=\alpha+\kappa}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
α) Ποια συνθήκη πρέπει να πληρούν τα $\displaystyle{ \alpha}$ και $\displaystyle{\kappa}$ , ώστε να υπάρχει ένα τέτοιο τρίγωνο;
β) Να βρεθεί μια απλή σχέση, ανεξάρτητη των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\kappa}$ , μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών $\displaystyle{\frac{\widehat{B}}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{\widehat{\Gamma}}{2}}$
γ) Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{\eta\mu \frac{B+\Gamma}{2}=\frac{\alpha}{2\kappa} \eta\mu \frac{B-\Gamma}{2}}$

3. Δίνεται τετράγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο. Να δειχθεί οτι το άθροισμα των τετραγώνων των εφαπτομένων των γωνιών υπό τις οποίες φαίνονται οι δυο διαγώνιοι του τετραγώνου από τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ του κύκλου είναι ανεξάρτητο της θέσης του σημείου αυτού. Ποια πρέπει να είναι η θέση του σημείου $\displaystyle{M}$ στον κύκλο, ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των εφαπτομένων των παραπάνω γωνιών να είναι ελάχιστο;

4. Να επιλυθεί τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ αν γνωρίζουμε την πλευρά $\displaystyle{ \alpha}$ , το ύψος $\displaystyle{U_{\alpha} }$ και το άθροισμα $\displaystyle{ \beta+\gamma=\lambda}$ των πλευρών $\displaystyle{\beta }$ και $\displaystyle{\gamma}$ . Διερεύνηση.

5. Να βρεθούν τα τόξα x σε ακτίνια , τα οποία συναληθεύουν τις σχέσεις $\displaystyle{0\le x<\pi , \frac{4x^2-9}{2\eta\mu^2x-\sigma\upsilon\nu x-1}<0}$

#2

parmenides51 έγραψε: 2. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ AB\Gamma}$ , του οποίου οι πλευρές με την σειρά $\displaystyle{(AB)=\alpha-\kappa, (B\Gamma)=\alpha, (\Gamma A)=\alpha+\kappa}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
α) Ποια συνθήκη πρέπει να πληρούν τα $\displaystyle{ \alpha}$ και $\displaystyle{\kappa}$ , ώστε να υπάρχει ένα τέτοιο τρίγωνο;
β) Να βρεθεί μια απλή σχέση, ανεξάρτητη των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\kappa}$ , μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών $\displaystyle{\frac{\widehat{B}}{2}}$ και $\displaystyle{\frac{\widehat{\Gamma}}{2}}$
γ) Να αποδειχθεί η σχέση $\displaystyle{\eta\mu \frac{B+\Gamma}{2}=\frac{\alpha}{2\kappa} \eta\mu \frac{B-\Gamma}{2}}$

α) Οι πλευρές του τριγώνου πρέπει να ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα:
$\displaystyle{|\beta - \gamma | < \alpha < \beta + \gamma \Leftrightarrow |\alpha + \kappa - \alpha + \kappa | < \alpha < \alpha + \kappa + \alpha - \kappa \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2|\kappa | < \alpha }$ (καθώς το δεύτερο σκέλος της ανίσωσης αληθεύει πάντα.Είναι δεδομένο πως a>0

ως πλευρά τριγώνου).

Πρέπει επιπλέον λοιπόν να είναι $\displaystyle{\beta ,\gamma > 0 \Leftrightarrow \alpha > \kappa ,\alpha > - \kappa \Leftrightarrow |\kappa | < \alpha }$ .

Άρα τελικά $\displaystyle{2|\kappa | < \alpha }$ .

β) Είναι $\displaystyle{\alpha = 2R\eta \mu {\rm A},\beta = 2R\eta \mu {\rm B},\gamma = 2R\eta \mu \Gamma }$ και $\displaystyle{\beta + \gamma = 2\alpha }$ .

Άρα, $\displaystyle{2R(\eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma ) = 4R\eta \mu {\rm A} \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2} = 2\eta \mu \frac{{\rm A}}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}}$ (1)

Είναι όμως $\displaystyle{\eta \mu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2} = \eta \mu \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\rm A}}{2}} \right) = \sigma \upsilon \nu \frac{{\rm A}}{2}}$ και ομοίως $\displaystyle{\eta \mu \frac{{\rm A}}{2} = \sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}}$

Οπότε η (1) γράφεται: $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2} = 2\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}}$ (2), που είναι η ζητούμενη σχέση.

γ) $\displaystyle{\frac{\beta }{\gamma } = \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\eta \mu \Gamma }} \Leftrightarrow \frac{{\beta + \gamma }}{{\beta - \gamma }} = \frac{{\eta \mu {\rm B} + \eta \mu \Gamma }}{{\eta \mu {\rm B} - \eta \mu \Gamma }} \Leftrightarrow \frac{\alpha }{\kappa } = \frac{{2\eta \mu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}}}{{2\eta \mu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}\sigma \upsilon \nu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}}}}$

$\displaystyle{\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \frac{\alpha }{\kappa } = \frac{{2\eta \mu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2}}}{{\eta \mu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}}} \Leftrightarrow \eta \mu \frac{{{\rm B} + \Gamma }}{2} = \frac{\alpha }{{2\kappa }} \cdot \eta \mu \frac{{{\rm B} - \Gamma }}{2}}$

apotin · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι το άθροισμα $\displaystyle{ \tau o \xi \eta\mu x+3\tau o \xi \sigma\upsilon\nu x+\tau o \xi \eta\mu (2x\sqrt{1-x^2}) }$ για $\displaystyle{x^2<\frac{1}{2}}$ είναι ανεξάρτητο του $\displaystyle{x}$ .

Έστω $\displaystyle{\tau o\xi \;\eta \mu x = \theta }$

Τότε $\displaystyle{\eta \mu \theta = x}$

Επειδή $\displaystyle{{x^2} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 2 }}{2} < x < \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

έχουμε $\displaystyle{ - \frac{\pi }{4} < \theta < \frac{\pi }{4}}$ οπότε οι αντίστροφες κυκλικές συναρτήσεις είναι μονότιμες

Είναι $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta > 0}$ , οπότε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta = \sqrt {1 - {x^2}} }$

Έτσι $\displaystyle{\eta \mu 2\theta = 2\eta \mu \theta \,\sigma \upsilon \nu \theta = 2x\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow \tau o\xi \,2x\sqrt {1 - {x^2}} = 2\theta }$

και $\displaystyle{\tau o\xi \;\sigma \upsilon \nu x = \frac{\pi }{2} - \theta }$

άρα

$\displaystyle{\tau o\xi \;\eta \mu x + 3\tau o\xi \;\sigma \upsilon \nu x + \tau o\xi \,2x\sqrt {1 - {x^2}} = \theta + 3\left( {\frac{\pi }{2} - \theta } \right) + 2\theta = \frac{{3\pi }}{2}}$

Σ.Μ.Α. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Σ.Μ.Α. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.Μ.Α. 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση