ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ - ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Ε. Κοκκινόπουλος

1. Το αριστερό άκρο $\displaystyle{A}$ ευθύγραμμου στελέχους $\displaystyle{AB}$ μήκους $\displaystyle{\lambda=2 \,\, m }$ κινείται σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{p=0,4 \,\, m}$ που βρίσκεται εντός του κατακόρυφου επιπέδου κι εκτελεί $\displaystyle{120}$ στροφές το λεπτό. Το δεξί άκρο $\displaystyle{B}$ του στελέχους ολισθαίνει ελεύθερα σε οριζόντια ευθεία $\displaystyle{OB}$ που βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο του κύκλου και διέρχεται από το κέντρο $\displaystyle{O}$ του κύκλου. Με αφετηρία χρόνου $\displaystyle{ t=0}$ , που αντιστοιχεί στην θέση $\displaystyle{A_oB_o}$ του στελέχους, στην οποία το άκρο $\displaystyle{A_o}$ συμπίπτει με το μέσο του άνω ημικυκλίου, ζητείται να βρεθούν
α) η σχέση που δίνει την αλγεβρική τιμή x της οριζόντιας μετακίνησης $\displaystyle{B_oB}$ από την αρχική θέση $\displaystyle{B_o}$ συναρτήσει του χρόνου $\displaystyle{t}$
β) οι τιμές της μετακίνησης αυτής κατά τις χρονικές στιγμές $\displaystyle{t_1=\frac{1}{16} \,\, sec}$ και $\displaystyle{t_2=1,3 \,\, sec}$ με προσέγγιση χιλιοστού του μέτρου
γ) η μέγιστη τιμή της μετακίνησης $\displaystyle{x}$ , με προσέγγιση χιλιοστού του μέτρου, καθώς και ο χρόνος $\displaystyle{t}$ κατά την οποία το πρώτο μέγιστο παράγεται.

2. Στην παράσταση $\displaystyle{ \gamma (t)=\frac{\displaystyle \eta\mu(\beta t)-\frac{\beta}{\omega}\eta\mu(\omega t)}{\displaystyle 1-\left(\frac{\beta}{\omega}\right)^2} }$ τα $\displaystyle{\beta,\omega}$ είναι μεγέθη γνωστά σταθερά και μεγαλύτερα του μηδενός και διάφορα μεταξύ τους $\displaystyle{(\beta \ne \omega ), t}$ παριστάνει τον μεταβλητό χρόνο. Για κάθε μια από τις περιπτώσεις $\displaystyle{\frac{\beta}{\omega}=\frac{3}{5}}$ και $\displaystyle{\frac{\beta}{\omega}=\frac{5}{3}}$ χωριστά ζητούνται να προσδιοριστούν:
α) οι χρόνοι $\displaystyle{t}$ κατά τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{ \gamma (t)}$ παίρνει την μεγαλύτερη από τις δυνατές θετικές τιμές της
β) τα χρονικά διαστήματα που μεσολαβούν μεταξύ δυο τέτοιων διαδοχικών μεγίστων
γ) οι μέγιστες αυτές τιμές της παράστασης

3. Τα μεγέθη $\displaystyle{a}$ και $\displaystyle{ b}$ εκφράζονται συναρτήσει της μεταβλητής γωνίας $\displaystyle{\phi }$ από τις σχέσεις $\displaystyle{a=l_1 \sigma\upsilon\nu^2\phi+l_2 \eta\mu^2\phi+l_3\eta\mu2\phi ,\,\, b=(l_2-l_1)\eta\mu\phi\sigma\upsilon\nu \phi+l_3\sigma\upsilon\nu2 \phi}$ όπου $\displaystyle{ l_1,l_2,l_3}$ δοθείσες σταθερές. Ζητούνται
α) να βρεθούν οι γωνίες $\displaystyle{\phi}$ για τις οποίες γίνεται $\displaystyle{b=0}$
β) να δοθούν, όταν $\displaystyle{b=0}$ , οι εκφράσεις του μεγέθους $\displaystyle{a}$ συναρτήσει των $\displaystyle{l_1,l_2,l_3}$ χωρίς τριγωνομετρικούς αριθμούς στην απλούστερη μορφή.
γ) Εφαρμογή για $\displaystyle{l_1=3k, l_2=k,l_3=\sqrt3 k}$ στα ζητούμενα (α) και (β) όπου $\displaystyle{k}$ δοθείσα σταθερά
(χρήση λογαριθμικών πινάκων)

ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ - ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

ΕΜΠ 1963 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ - ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ

Μέλη σε σύνδεση