ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Α

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A=\alpha^{\displaystyle \frac{3}{5}}+\frac{1}{\alpha^{\displaystyle \frac{3}{5}}}+\left(\alpha^{\displaystyle \frac{2}{5}}+\frac{1}{\alpha^{\displaystyle \frac{2}{5}}}\right)^2+\left(\alpha^{\displaystyle \frac{1}{5}}+\frac{1}{\alpha^{\displaystyle \frac{1}{5}}}\right)^3}$
για $\displaystyle{\alpha=\left(\frac{3+5\sqrt5}{2}\right)^5}$

2. Να δειχθεί οτι εαν είναι $\displaystyle{(x^{0,02}+y^{0,03}+w^{0,04})^2=3(x^{0,02}y^{0,03}+y^{0,03}w^{0,04}+w^{0,04}x^{0,02})}$
τότε θα είναι $\displaystyle{x^{0,02}=y^{0,03}=w^{0,04}}$

3. Σε $\displaystyle{12}$ διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι $\displaystyle{74}$
και το γινόμενο των άκρων όρων είναι $\displaystyle{70}$ . Να καθορισθεί η πρόοδος.

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:3. Σε $\displaystyle{12}$ διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, το άθροισμα των τεσσάρων μεσαίων όρων είναι $\displaystyle{74}$ και το γινόμενο των άκρων όρων είναι $\displaystyle{70}$ . Να καθορισθεί η πρόοδος.

Αν ${\alpha _1}$ ο πρώτος όρο και $\omega$ η διαφορά της προόδου τότε:

${\alpha _5} + {\alpha _6} + {\alpha _7} + {\alpha _8} = 74 \Leftrightarrow$

${\alpha _1} + 4\omega + {\alpha _1} + 5\omega + {\alpha _1} + 6\omega + {\alpha _1} + 7\omega = 74 \Leftrightarrow$

$2{\alpha _1} + 11\omega = 37 \Leftrightarrow 11\omega = 37 - 2{\alpha _1}\;\left( 1 \right)$

${\alpha _1} \cdot {\alpha _{12}} = 70 \Leftrightarrow {\alpha _1} \cdot \left( {{\alpha _1} + 11\omega } \right) = 70\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

${\alpha _1} \cdot \left( {37 - {\alpha _1}} \right) = 70 \Leftrightarrow \alpha _1^2 - 37{\alpha _1} - 70 = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {{\alpha _1} - 2} \right)\left( {{\alpha _1} - 35} \right) = 0 \Leftrightarrow {\alpha _1} = 2\;\dot \eta \;{\alpha _1} = 35$

Αν ${\alpha _1} = 2\;$ η $\left( 1 \right) \Rightarrow \omega = 3$

Αν ${\alpha _1} = 35\;$ $\left( 1 \right) \Rightarrow \omega = - 3$

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:2. Να δειχθεί οτι εαν είναι $\displaystyle{(x^{0,02}+y^{0,03}+w^{0,04})^2=3(x^{0,02}y^{0,03}+y^{0,03}w^{0,04}+w^{0,04}x^{0,02})}$
τότε θα είναι $\displaystyle{x^{0,02}=y^{0,03}=w^{0,04}}$

Αν $\alpha = {x^{0,02}},\;\beta = {y^{0,03}}$ και $\gamma = {w^{0,04}}$ η δοθείσα σχέση γράφεται:

${\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)^2} = 3\left( {\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha } \right) \Leftrightarrow$

${\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2} - \alpha \beta - \beta \gamma - \gamma \alpha = 0 \Leftrightarrow$

$2{\alpha ^2} + 2{\beta ^2} + 2{\gamma ^2} - 2\alpha \beta - 2\beta \gamma - 2\gamma \alpha = 0 \Leftrightarrow$

${\left( {\alpha - \beta } \right)^2} + {\left( {\beta - \gamma } \right)^2} + {\left( {\gamma - \alpha } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow$

$\alpha = \beta$ και $\beta = \gamma$ και $\gamma = \alpha$

Οπότε $\alpha = \beta = \gamma \Leftrightarrow {x^{0,02}} = {y^{0,03}} = {w^{0,04}}$

ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Α

ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Α

Re: ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Α

Re: ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Α

Μέλη σε σύνδεση