ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Γ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι εαν είναι $\displaystyle{x=\frac{\kappa}{\lambda+\mu},y=\frac{\lambda }{\kappa+\mu},w=\frac{\mu }{\kappa+\lambda }}$
τότε θα είναι $\displaystyle{\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{w}{1+w}=1}$ .

2. Να δειχθεί οτι εαν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} \alpha^{\displaystyle \frac{1}{3}}+\beta^{\displaystyle \frac{1}{3}}+\gamma^{\displaystyle \frac{1}{3}}=1 \\ \\ \alpha^{\displaystyle \frac{2}{3}}+\beta^{\displaystyle \frac{2}{3}}+\gamma^{\displaystyle \frac{2}{3}}=13 \\ \\ \alpha+\beta+\gamma=19 \end{cases} }$ ,
τότε ένα τουλάχιστον από τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι $\displaystyle{0}$ .

3. Το άθροισμα πέντε διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου είναι $\displaystyle{45}$ και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι $\displaystyle{495}$ .
Να βρεθούν οι πέντε όροι της προόδου.

#2

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι εαν είναι $\displaystyle{x=\frac{\kappa}{\lambda+\mu},y=\frac{\lambda }{\kappa+\mu},w=\frac{\mu }{\kappa+\lambda }}$
τότε θα είναι $\displaystyle{\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{w}{1+w}=1}$ .

$\displaystyle{\frac{x}{{1 + x}} = \frac{{\frac{k}{{\lambda + \mu }}}}{{1 + \frac{k}{{\lambda + \mu }}}} = \frac{k}{{k + \lambda + \mu }}}$ .

Ομοίως, $\displaystyle{\frac{y}{{1 + y}} = \frac{\lambda }{{k + \lambda + \mu }},\frac{w}{{1 + w}} = \frac{\mu }{{k + \lambda + \mu }}}$ .

Άρα $\displaystyle{\frac{x}{{1 + x}} + \frac{y}{{1 + y}} + \frac{w}{{1 + w}} = \frac{{k + \lambda + \mu }}{{k + \lambda + \mu }} = 1}$

#3

parmenides51 έγραψε:
3. Το άθροισμα πέντε διαδοχικών όρων αριθμητικής προόδου είναι $\displaystyle{45}$ και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι $\displaystyle{495}$ .
Να βρεθούν οι πέντε όροι της προόδου.

Έστω $\displaystyle{x - 2w,x - w,x,x + w,x + 2w}$ οι πέντε διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου.

Τότε $\displaystyle{5x = 45 \Leftrightarrow x = 9}$

$\displaystyle{{(9 - 2w)^2} + {(9 - w)^2} + {9^2} + {(9 + w)^2} + {(9 + 2w)^2} = 495 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{81 + 4{w^2} + 81 + {w^2} + 81 + 81 + {w^2} + 81 + 4{w^2} = 495 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{10{w^2} = 90 \Leftrightarrow w = \pm 3}$ .

Οι πέντε διαδοχικοί όροι λοιπόν της αριθμητικής προόδου είναι:

3, 6, 9, 12, 15

ή με αντίστροφη σειρά, 15, 12, 9, 6, 3

.

#4

parmenides51 έγραψε:
2. Να δειχθεί οτι εαν οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ πληρούν τις σχέσεις $\displaystyle{\begin{cases} \alpha^{\displaystyle \frac{1}{3}}+\beta^{\displaystyle \frac{1}{3}}+\gamma^{\displaystyle \frac{1}{3}}=1 \\ \\ \alpha^{\displaystyle \frac{2}{3}}+\beta^{\displaystyle \frac{2}{3}}+\gamma^{\displaystyle \frac{2}{3}}=13 \\ \\ \alpha+\beta+\gamma=19 \end{cases} }$ ,
τότε ένα τουλάχιστον από τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι $\displaystyle{0}$ .

Έστω $\displaystyle{{a^{\frac{1}{3}}} = x,{\beta ^{\frac{1}{3}}} = y,{\gamma ^{\frac{1}{3}}} = w}$ .

Είναι $\displaystyle{x + y + w = 1,{x^2} + {y^2} + {w^2} = 13,{x^3} + {y^3} + {w^3} = 19}$ .

Αρκεί να δείξω ότι ένας τουλάχιστον από τους x,y,w

είναι

.

$\displaystyle{{(x + y + w)^2} = {x^2} + {y^2} + {w^2} + 2(xy + yw + xw) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{1 = 13 + 2(xy + yw + xw) \Leftrightarrow xy + yw + xw = - 6}$ (1)

Από την ταυτότητα του Euler

έχουμε:

$\displaystyle{{x^3} + {y^3} + {w^3} - 3xyw = (x + y + w)\left( {{x^2} + {y^2} + {w^2} - xy - yw - xw} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} }$

$\displaystyle{19 - 3xyw = 13 + 6 \Leftrightarrow xyw = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee y = 0 \vee w = 0}$ .

ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Γ

ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Γ

Re: ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Γ

Re: ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Γ

Re: ΑΝΩΤΑΤΗ ΕΜΠΟΡΙΚΗ 1963 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΜΗΜΑ Γ

Μέλη σε σύνδεση