μαθηματική απόδοση πραγματικού προβλήματος, μεθοδολογία

oneofthem · #1

γεια σας, μη σας τρομάζει το μέγεθος του κειμένου
και sry αν είναι σε λάθος sub-forum αλλά η κατηγορία του προβλήματος είναι κι αυτό ζητούμενο

το πρόβλημα είναι πραγματικό αλλά απλοποιημένο ως προς τα νούμερα, τον αριθμό των συντελεστών κ.α. για λόγους ευκολίας

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
θέλουμε να προσλάβουμε προσωπικό για 36 μήνες εργασίας:

Α ομάδα 20 ατόμων από την οποία:
α) όσοι θα δουλεύουν στη παλιά πλατφόρμα δεν θα χρειαστούν εκπαίδευση και θα μπορούν
άμεσα από τον πρώτο μήνα να διαθέτουν 250 μονάδες υπηρεσίας
άρα για οποιοδήποτε μήνα οι μονάδες υπηρεσίας που θα μπορούν να προσφέρουν αυτοί είναι:
[αριθμός-εργαζομένων-παλιά]*[μονάδες-υπηρεσίας-παλιά] ή $\alpha _{ \pi _{20} } \times 250$ ή
$250 \times \alpha _{ \pi _{20} }$

β) όσοι θα δουλεύουν στη καινούργια πλατφόρμα θα χρειαστούν εκπαίδευση και θα μπορούν
να προσφέρουν 10 μονάδες υπηρεσίας προσαυξανόμενη κατά 10 ανά μήνα
άρα για οποιοδήποτε μήνα οι μονάδες υπηρεσίας που θα μπορούν να προσφέρουν αυτοί είναι:
[αριθμός-εργαζομένων-καινούργια]*[μονάδες-υπηρεσίας-καινούργια]*[αριθμός-μηνών-εργασίας] ή $\alpha _{ \kappa _{20} } \times 10 \times \mu$ ή $10\times \alpha _{ \kappa _{20} } \times \mu$
κι επειδή $\alpha _{ \pi_{20} } +\alpha _{ \kappa _{20} }=20$ τότε $\alpha _{ \kappa _{20} }=20-\alpha _{ \pi _{20} }$ άρα
$10 \times (20-\alpha _{ \pi _{20} })*\mu$

Β ομάδα 40 ατόμων:
[...αντιστοίχως...]:

γ) $450 \times \alpha _{ \pi _{40} }$

δ) $20 \times (40-\alpha _{ \pi _{40} })*\mu$

άρα αρθροιστικά οι μονάδες υπηρεσίας μέχρι κι ένα συγκεκριμένο μήνα θα είναι:
ε) $250 \times \alpha _{ \pi _{20} }+10 \times (20-\alpha _{ \pi _{20} })*\mu+450 \times \alpha _{ \pi _{40} }+20 \times (40-\alpha _{ \pi _{40} })*\mu$
όπου α = αριθμός εργαζομένων (παλιά/καινούργια και ομάδα 20/ομάδα 40 αντίστοιχα) και μ = αριθμός μήνα

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ:
όπως είναι εμφανές, η παλιά πλατφόρμα θα έχει εξαρχής μια σταθερή απόδοση (δυναμική απόδοσης τέλος πάντων) ενώ η καινούργια ξεκινά από το μηδέν αλλά αυξάνεται και μετά από ένα σημείο ξεπερνά την απόδοση της παλιάς
αυτό που θέλουμε είναι να βρούμε τον πιο αποδοτικό συνδυασμό αριθμού εργαζομένων στην παλιά και καινούργια πλατφόρμα

ΣΚΕΨΕΙΣ:
τι σημαίνει όμως 'πιο αποδοτικό';
σημαίνει ότι ψάχνουμε για ποιες τιμές αριθμού εργαζομένων παλιάς/καινούργιας πλατφόρμας και ομάδας 20/ομάδας 40 ατόμων έχουμε τις υψηλότερες τιμές για την παράσταση (ε) σε διάρκεια 36 μηνών
αυτό μου φέρνει στο μυαλό εμβαδά γραφικών παράστασεων, μέσους όρους, και το πιο κοντινό που θυμάμαι από τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ' λυκείου είναι η μελέτη γραφικής παράστασης συνάρτησης όπου θα μπορούσες να βρεις σημεία καμπής, μέγιστα ελάχιστα
όμως δεν ξέρω καν τι είναι το (ε), ποιες είναι μεταβλητές, ποιες παράμετροι;
μπορούμε να πούμε ότι είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής του αριθμού των μηνών και όλα τα άλλα είναι παράμετροι;
κι έτσι να ταν, δεν ξέρω καν πως γίνεται μελέτη παραμετρικών συναρτήσεων
στο βιβλίο είχε κάποιες εφαρμογές που αντί για 2χ γράφει λχ αλλά δεν θυμάμαι αν το λ είναι κάτι σταθερό ή αν μπορούμε να κάνουμε συγκρίσεις για διαφορετικά λ και πόσο μάλλον όταν υπάρχουν κι άλλοι παράμετροι

από την άλλη στο μυαλό μου έρχεται η στατιστική, πιθανότητες κτλ που δυστυχώς δεν έχω κάνει σε τέτοιο επίπεδο
έφτιαξα πίνακες τιμών στο excel για κάθε μία από τις Α, Β περιπτώσεις όπου κάθε κελί παίρνει την αντίστοιχη τιμή ανάλογα με το πιο μήνα έχουμε, πόσοι εργαζόμενοι είναι στη συγκεκριμένη περίπτωση και τι δυναμική αποδοτικότητα έχουν
το πρώτο που καταλαβαίνω είναι ότι με το μάτι για κάθε περίπτωση ξεχωριστά βρίσκω αυτό που θέλω
αλλά για να πάω στην αθροιστική περίπτωση (ε), που πρέπει να πάρω κάθε περίπτωση εργαζομένων της πρώτης ομάδας ανά μήνα και να τη συνδυάσω με τη δεύτερη και τρίτη ομάδα οι περιπτώσεις είναι χιλιάδες (στο πραγματικό πρόβλημα - υπενθυμίζω ότι εδώ είναι απλοποιημένο)
υπάρχουν μεθοδολογίες στη ανάλυση ή στη στατιστική/πιθανότητες για μελέτη τέτοιων παραστάσεων που έχουμε πολλές παραμέτρους, διαφορετικές πιθανότητες κτλ; τι πρέπει να διαβάσω ώστε να μπορώ εύκαιρα να λύνω τέτοια προβλήματα;

ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας και καλή συνέχεια

paulgai · #2

Καλημέρα, το συγκεκριμένο μοντέλο (αν το κατάλαβα σωστά) είναι σχετικά απλό αλλά δεν ξέρω κατά πόσο η λύση του θα είναι ικανοποιητική και εφαρμόσιμη σε ‘πραγματικές συνθήκες’. Θα φανεί παρακάτω τι εννοώ…
Αρχικά οι δύο μεταβλητές που θέλεις να προσδιορίσεις είναι οι $\alpha _{\pi _{20}}$ και $\alpha _{\pi_{ 40}}$ που από εδώ και στο εξής θα συμβολίζω με x και y αντίστοιχα. Η ποσότητα που θέλεις να μεγιστοποιήσεις είναι η συνολική απόδοση στο διάστημα 36 μηνών. Αν με

συμβολίσουμε την συνολική απόδοση τότε θα είναι:

$\displaystyle S=\sum_{m=1}^{36}(250x+10(20-x)m + 450y+20(40-y)m) =180 (3700 + 13 x + 16 y)$

Η ποσότητα

είναι ουσιαστικά μια συνάρτηση δυο μεταβλητών και άρα το πρόβλημά σου ανάγεται σε μελέτη συνάρτησης δύο μεταβλητών. Η συγκεκριμένη είναι απλή και παριστάνει ένα επίπεδο στον χώρο (βλ. εικόνα). Παίρνει μέγιστη τιμή την 828000 (συνολική απόδοση στους 36 μήνες) για x=20

και

. Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι εργαζόμενοι θα πρέπει να δουλέψουν από την πρώτη μέρα στην καινούργια πλατφόρμα.

Έρχομαι τώρα σε αυτό που ανέφερα παραπάνω, αυτή η προσέγγιση ενδεχομένως να μην είναι κατάλληλη σε πραγματικές συνθήκες. Αυτό θα μπορούσε να συμβεί για παράδειγμα αν υπάρχει υποχρέωση για ένα Minimum απόδοσης μηνιαίος οπότε δεν είναι εφικτό να εφαρμόσουμε αυτή τη λύση από την πρώτη μέρα. Αν υπάρχουν τέτοιου είδους περιορισμοί θα πρέπει να αντιμετωπίσεις το πρόβλημα με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού. Επίσης το μοντέλο μπορεί να γίνει ακόμη πιο πολύπλοκο αν θέλεις να έχεις μια ροή προσωπικού, στην πορεία του χρόνου, από την παλιά προς την καινούργια πλατφόρμα, έτσι ώστε από κάποια στιγμή και μετά να μεταφερθούν όλοι οι εργαζόμενοι στη καινούργια πλατφόρμα.

oneofthem · #3

συγνώμη για την καθυστέρηση
δεν έχω λόγια να σε ευχαριστήσω για τον κόπο σου...
απλά δεν είμαι σίγουρος αν είναι αυτό που θέλω, και για αυτό το λόγο καθυστέρησα
την τιμή για m=36 (ή max στο πραγματικό πρόβλημα) ξέρω ούτως ή άλλως ότι θα είναι υψηλότερη με όλους τους εργαζόμενους στην καινούργια πλατφόρμα, όπως καταλαβαίνω ότι και η παράσταση είναι αυτή που παρέθεσες (δεν ξέρω πως ονομάζεται, παραλληλόγραμμη επιφανειακή, τέλος πάντων αύξουσα επομένως δεν έχει ενδιάμεσα σημεία καμπής)
μάλλον δεν το έκφρασα σωστά, όταν έγραφα 'σε διάρκεια 36 μηνών' εννοούσα και κατά τη διάρκεια των 36 μηνών, εκεί είναι η δυσκολία μου
και για αυτό ενδιαφέρομαι για μελέτη της συνάρτησης που να περιλαμβάνει και τους μήνες γιατί οι πολλές διαφορετικές ομάδες (στο πραγματικό πρόβλημα είναι πολύ περισσότερες) αλλάζουν την τιμή ανά μήνα διαφορετικά
για αυτό δεν ξέρω αν οι μεταβλητές είναι οι αριθμοί των εργαζομένων

-
αυτό που ανέφερες για την απόδοση και το minimum ανά μήνα, δεν υπάρχει θέμα γιατί μιλάμε για δυναμικό απόδοσης (βιομηχανικές εφαρμογές), δεν συσσωρεύεται ούτε καταναλώνεται, δεν το εξηγώ περαιτέρω γιατί το έχουμε εκφράσει σωστά αυτό το κομμάτι οπότε δεν υπάρχει θέμα
και για τους υπόλοιπους συντελεστές προς το παρόν δεν υπάρχει θέμα (υπενθυμίζω ότι εδώ έχω γράψει ένα απλουστευμένο πρόβλημα, το πραγματικό πρόβλημα έχει πολύ περισσότερους παράγοντες) προς το παρόν γιατί το κύριο είναι να καταλάβω τον τρόπο αντιμετώπισης έστω και στην απλή του μορφή
-
όπως και να χει ευχαριστώ πολύ

Νίκος Παπαγεωργίου · #4

Α ομάδα 20 ατόμων από την οποία:
α) όσοι θα δουλεύουν στη παλιά πλατφόρμα δεν θα χρειαστούν εκπαίδευση και θα μπορούν
άμεσα από τον πρώτο μήνα να διαθέτουν 250 μονάδες υπηρεσίας
άρα για οποιοδήποτε μήνα οι μονάδες υπηρεσίας που θα μπορούν να προσφέρουν αυτοί είναι:
[αριθμός-εργαζομένων-παλιά]*[μονάδες-υπηρεσίας-παλιά] ή $\alpha _{ \pi _{20} } \times 250$ ή
$250 \times \alpha _{ \pi _{20} }$

Αν 20 άτομα εργάζονται για 36 μήνες θα διατεθούν 180.000 μ.υ.

β) όσοι θα δουλεύουν στη καινούργια πλατφόρμα θα χρειαστούν εκπαίδευση και θα μπορούν
να προσφέρουν 10 μονάδες υπηρεσίας προσαυξανόμενη κατά 10 ανά μήνα

Αυτό σημαίνει γεωμετρική πρόοδο, δηλαδή κάθε εργαζόμενος θα έχει διαθέσει μέχρι τον μήνα μ: 10μ(μ+1)/2 μ.υ.

αν 20 άτομα εργάζονται για 36 μήνες θα διατεθούν 20x5x36(36+1)=133.200 μ.υ.

Και φυσικά όλοι πρέπει να δουλεύουν στην παλιά πλατφόρμα!

μαθηματική απόδοση πραγματικού προβλήματος, μεθοδολογία

μαθηματική απόδοση πραγματικού προβλήματος, μεθοδολογία

Re: μαθηματική απόδοση πραγματικού προβλήματος, μεθοδολογία

Re: μαθηματική απόδοση πραγματικού προβλήματος, μεθοδολογία

Re: μαθηματική απόδοση πραγματικού προβλήματος, μεθοδολογία

Μέλη σε σύνδεση