ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

k.iliopoulos · #1

Καλησπέρα θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει στον υπολογισμό της ροής απο επιφάνεια σφαίρας

#2

Γίνε λίγο πιο συγκεκριμένος...

oneofthem · #3

υποθέτω πως θέλει βοήθεια στον υπολογισμό των ταχυτήτων υγρού που κυλάει πάνω σε σφαιρικό αντικείμενο;
το πρώτο που χρειάζεται είναι να διευκρινιστεί αν μιλάμε για ιδανικές ή πραγματικές συνθήκες
μάλλον χρειάζονται φυσικοί για αυτό ειδικά στη δεύτερη περίπτωση που φαντάζομαι είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη για να τη καλύψει κάποιος μαθηματικός που ξέρει και από φυσική εκτός αν βρεθεί κάποιο έτοιμο παράδειγμα στο internet που ήδη έχουν υπολογιστεί σωστά όλοι οι παράγοντες

#4

oneofthem έγραψε:υποθέτω πως θέλει βοήθεια στον υπολογισμό των ταχυτήτων υγρού που κυλάει πάνω σε σφαιρικό αντικείμενο;
το πρώτο που χρειάζεται είναι να διευκρινιστεί αν μιλάμε για ιδανικές ή πραγματικές συνθήκες
μάλλον χρειάζονται φυσικοί για αυτό ειδικά στη δεύτερη περίπτωση που φαντάζομαι είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη για να τη καλύψει κάποιος μαθηματικός που ξέρει και από φυσική εκτός αν βρεθεί κάποιο έτοιμο παράδειγμα στο internet που ήδη έχουν υπολογιστεί σωστά όλοι οι παράγοντες

Στον τόπο μας είναι αυξημένη η ιδιομορφία, για να θυμηθώ τον Γιάννη Τσαρούχη, να είναι ο καθένας ό,τι δηλώσει. Η παραπάνω απάντηση εμπίπτει σε αυτή την κατηγορία, ως άσχετη. Ευτυχώς ή δυστυχώς στον τόπο μας έχουμε την ελευθερία να κάνουμε όλοι τον επαΐοντα δίνοντας ανεύθυνες απαντήσεις.

Από κάτω γράφω, έστω συνοπτικά, την απάντηση στο αρχικό ερώτημα.

#5

k.iliopoulos έγραψε:Καλησπέρα θα μπορούσε κάποιος να με βοηθήσει στον υπολογισμό της ροής απο επιφάνεια σφαίρας

Αν $\bold {\hat F}$ ένα διανυσματικό πεδίο ορισμένο σε μία προσανατολισμένη επιφάνεια

με εξίσωση z=g(x,y)

, τότε η ροή ορίζεται ως το διπλό ολοκλήρωμα
$\displaystyle{ \int _ S \hat {\bold { F}}\cdot d \hat {\bold S}}$

Αποδεικνύεται ότι ισούται με το $\displaystyle{ \int _ S \bold {\hat F}\cdot \hat {\bold {n}} d S}}$ όπου $\hat {\bold n}$ το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια, το οποίο εν γένει διευκολύνει τις πράξεις.
Υπόψη ότι το $\displaystyle{dS}$ το υπολογίζουμε από το $\displaystyle{ \sqrt {\left (\frac {\partial g}{\partial x}\right ) ^2 + \left (\frac {\partial g}{\partial y}\right ) ^2+1} dxdy}$ . Για την σφαίρα είναι $g(x,y) = \pm \sqrt {R^2-x^2-y^2}$ αλλά συχνά μας βολεύει να εργαστούμε με σφαιρικές συντεταγμένες όπου είναι $r^2\sin \theta d\theta d \phi$ .

Ειδικά στην μοναδιαία σφαίρα, εύκολα βλέπουμε ότι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα δίνεται από την $\hat {\bold n}= x \hat {\bold i }+ y \hat {\bold j} + z \hat {\bold k}$ (διότι η επιβατική ακτίνα σφαίρας είναι κάθετη στο εφαπτόμενο επίπεδο στο άκρο της).

Ελπίζω να βοήθησα έστω χωρίς να κάνω τις πράξεις. Δεν αμφιβάλλω (αλλά δεν το έψαξα) ότι θα βρεις πληθώρα παρόμοιων ολοκληρωμάτων και τεχνικών στον Διανυσματικό Λογισμό των Marsdren και Tromba (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης) στο κεφάλαιο με τα θεωρήματα Gauss και Stokes. Ας προσθέσω ότι το Θεώρημα Gauss δίνει ότι το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα ροής ισούται με το τριπλό ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int _V (\bold {\nabla} \cdot \bold {\hat F} ) dV}$ .

ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

Re: ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

Re: ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

Re: ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

Re: ΡΟΗ απο επιφάνεια σφαίρας

Μέλη σε σύνδεση