Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Θέλω να βρώ με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης
με περιορισμό
και έχω κάνει
Αλλά εδώ κόλλησα και δεν μπορώ να βρω το
με περιορισμό
και έχω κάνει
Αλλά εδώ κόλλησα και δεν μπορώ να βρω το
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης
με περιορισμό ...
1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή
2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?grigkost έγραψε:Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης
με περιορισμό ...
1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή
2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό
μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής
Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Εδώ έχει συμβεί να φτάσεις σχεδόν στο σωστό αποτέλεσμα, αλλά με αρκετή τύχη. Να το εξηγήσω:crimjoy έγραψε:Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?grigkost έγραψε:Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης
με περιορισμό ...
1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή
2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό
μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής
Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?
1) Όπως ανέφερα και παραπάνω, η μέθοδος Lagrange "λειτουργεί" μόνο για το σύνορο του δίσκου. Για την εύρεση ακροτάτων στον ανοικτό δίσκο βρίσκουμε τις ρίζες του και με την βοήθεια του Εσσιανού διαπιστώνουμε αν σε κάποια από αυτές τις ρίζες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του.
2) Αφού βρούμε τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου πρέπει με την μέθοδο Lagrange να εντοπίσουμε πιθανά ακρότατα στο σύνορο .
3) Κατόπιν πρέπει να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε με τις δύο μεθόδους για να βρούμε τα ακρότατα στον κλειστό δίσκο .
Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία. Αν η συνάρτηση είναι σχετικά απλή, τότε ο συνδυασμός των δύο μεθόδων "λειτουργεί" χωρίς πρόβλημα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το
[attachment=1]Lagrange_mult.png[/attachment][attachment=0]Lagrange_mult_II.png[/attachment] και όπως μπορείς να διαπιστώσεις "ιδίοις όμμασι" χρειάζεται αρκετή διερεύνηση για να βρεθούν τα ακρότατα. Πάντως τα τοπικά ελάχιστα είναι για τα (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα ), . (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα )
- Συνημμένα
-
- Lagrange_mult_II.png (21.26 KiB) Προβλήθηκε 2402 φορές
-
- Lagrange_mult.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 2424 φορές
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Πάντως η χρήση πολικών συντεταγμένων θα σε εξυπηρετούσε ιδιαίτερα. Φαίνονται με ελάχιστη διερεύνηση τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου και σου μένει μόνο το σύνορο όπου έχεις μόνο μια μεταβλητή.
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Karush–Kuhn–Tucker π.χ εδώ. Θα πρέπει δηλαδή να ελεγχθεί και το πρόσημο του .
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
το λ απόσο ξέρω πρέπει να είναι θετικόAl.Koutsouridis έγραψε:Νομίζω μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Karush–Kuhn–Tucker π.χ εδώ. Θα πρέπει δηλαδή να ελεγχθεί και το πρόσημο του .
Δυστυχώς δεν είμαι καθόλου εξοικειωμένος με πολικέςdement έγραψε:Πάντως η χρήση πολικών συντεταγμένων θα σε εξυπηρετούσε ιδιαίτερα. Φαίνονται με ελάχιστη διερεύνηση τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου και σου μένει μόνο το σύνορο όπου έχεις μόνο μια μεταβλητή.
Ευχαριστώ για την εκτεταμένη απάντηση .grigkost έγραψε:Εδώ έχει συμβεί να φτάσεις σχεδόν στο σωστό αποτέλεσμα, αλλά με αρκετή τύχη. Να το εξηγήσω:crimjoy έγραψε:Ευχαριστώ για την απάντηση.Το πρόβλημα διατυπώνονταν όπως το έγραψα , ποια άλλη μέθοδο μπορώ να χρησιμοποιήσω ?grigkost έγραψε:Η μέθοδος Lagrange "δουλεύει" μόνο πάνω στο σύνορο του δίσκου . Επομένως αυτό που ζητάς είναι:crimjoy έγραψε:Θέλω να βρω με Lagrange όλα τα τοπικά ελάχιστα της συνάρτησης
με περιορισμό ...
1) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης με την μέθοδο Lagrange με περιορισμό ; ή
2) Εύρεση ακροτάτων της συνάρτησης στον δίσκο ;
(Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Lagrange μαζί με άλλη μέθοδο εύρεσης ακροτάτων.)
Αρχικά προσπάθησα να βρω ελάχιστο χωρίς περιορισμούς αλλά κόλλησα σε αυτό
μετά αυτό που έγραψα στην αρχή το προχώρησα ως εξής
Άρα έχει ελάχιστα σε αυτά τα 2 σημεία ?
1) Όπως ανέφερα και παραπάνω, η μέθοδος Lagrange "λειτουργεί" μόνο για το σύνορο του δίσκου. Για την εύρεση ακροτάτων στον ανοικτό δίσκο βρίσκουμε τις ρίζες του και με την βοήθεια του Εσσιανού διαπιστώνουμε αν σε κάποια από αυτές τις ρίζες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο καθώς και το είδος του.
2) Αφού βρούμε τα ακρότατα στο εσωτερικό του δίσκου πρέπει με την μέθοδο Lagrange να εντοπίσουμε πιθανά ακρότατα στο σύνορο .
3) Κατόπιν πρέπει να συνδυάσουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε με τις δύο μεθόδους για να βρούμε τα ακρότατα στον κλειστό δίσκο .
Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία. Αν η συνάρτηση είναι σχετικά απλή, τότε ο συνδυασμός των δύο μεθόδων "λειτουργεί" χωρίς πρόβλημα. Στην συγκεκριμένη περίπτωση το γράφημα της συνάρτησης είναι το
[attachment=1]Lagrange_mult.png[/attachment][attachment=0]Lagrange_mult_II.png[/attachment] και όπως μπορείς να διαπιστώσεις "ιδίοις όμμασι" χρειάζεται αρκετή διερεύνηση για να βρεθούν τα ακρότατα. Πάντως τα τοπικά ελάχιστα είναι για τα (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα ), . (πρέπει να βρεθούν και τα αντίστοιχα )
Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω
όποιο και να είναι το για ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .
Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία και
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
1) Τα σημεία και είναι τοπικά ελάχιστα (στην πραγματικότητα είναι ολικά).crimjoy έγραψε:Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω
όποιο και να είναι το για ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .
Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία και
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος
2) Ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (για να αποφανθούμε αρνητικά πρέπει ο Εσσιανός να έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιμές. Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι ιδιοτιμές είναι και ) σε κάθε σημείο . Επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μπορείς να βρεις κάποιον άλλο τρόπο;
(Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε τα γραφήματα της συνάρτησης και κατόπιν απόδειξε αλγεβρικά αυτό που παρατηρείς.)
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα ;grigkost έγραψε:1) Τα σημεία και είναι τοπικά ελάχιστα (στην πραγματικότητα είναι ολικά).crimjoy έγραψε:Για το εσωτερικό του δίσκου αφού βρίσκω
όποιο και να είναι το για ο hessian δεν μπορεί να είναι θετικά ορισμένος άρα δεν έχω ελάχιστο .
Για την ισότητα νομίζω πως βγήκαν τα σημεία και
Παρακαλώ διορθώστε με αν έχω λάθος
2) Ο Εσσιανός πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος (για να αποφανθούμε αρνητικά πρέπει ο Εσσιανός να έχει και θετικές και αρνητικές ιδιοτιμές. Στην συγκεκριμένη περίπτωση οι ιδιοτιμές είναι και ) σε κάθε σημείο . Επομένως δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν σε αυτά τα σημεία η συνάρτηση παρουσιάζει ή δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. Μπορείς να βρεις κάποιον άλλο τρόπο;
(Υπόδειξη: Χρησιμοποίησε τα γραφήματα της συνάρτησης και κατόπιν απόδειξε αλγεβρικά αυτό που παρατηρείς.)
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.crimjoy έγραψε:..Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα ;
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?grigkost έγραψε:Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.crimjoy έγραψε:..Θα μπορούσαμε να πούμε πως ισχύει για όλα τα χ στο διάστημα ;
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Όπως ανέφερα και παραπάνω "Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία." . Υπάρχουν ισχυρές μέθοδοι -όπως οι δυο που χρησιμοποιήθηκαν, δηλαδή οι ρίζες του και η μέθοδος Lagrange- που βοηθάνε πολύ σε πολλές περιπτώσεις, αλλά δεν είναι "απόλυτες". Έτσι, κατά περίπτωση, πρέπει να κάνουμε μια διερεύνηση με "όσα όπλα έχουμε". Στην προκείμενη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του τοπικού ακρότατου (ελαχίστου). Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα. Και δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να μηδενίζεται στο υποψήφιο σημείο. Αρκεί να μπορούμε να αποδείξουμε το ότι ισχύει η συνθήκη του τοπικού ακροτάτου.crimjoy έγραψε:Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?grigkost έγραψε:Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Re: Τοπικά ελάχιστα με lagrange
Σε ευχαριστώ πολύgrigkost έγραψε:Όπως ανέφερα και παραπάνω "Γενικά η εύρεση ακροτάτων συναρτήσεων διανυσματικής μεταβλητής σε κλειστό σύνολο -δηλαδή σε σύνολο με σύνορο- δεν είναι εύκολη διαδικασία." . Υπάρχουν ισχυρές μέθοδοι -όπως οι δυο που χρησιμοποιήθηκαν, δηλαδή οι ρίζες του και η μέθοδος Lagrange- που βοηθάνε πολύ σε πολλές περιπτώσεις, αλλά δεν είναι "απόλυτες". Έτσι, κατά περίπτωση, πρέπει να κάνουμε μια διερεύνηση με "όσα όπλα έχουμε". Στην προκείμενη περίπτωση χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του τοπικού ακρότατου (ελαχίστου). Δεν πρόκειται για κάποιο θεώρημα. Και δεν είναι ανάγκη η συνάρτηση να μηδενίζεται στο υποψήφιο σημείο. Αρκεί να μπορούμε να αποδείξουμε το ότι ισχύει η συνθήκη του τοπικού ακροτάτου.crimjoy έγραψε:Σε ευχαριστώ γίνεται αντιληπτό αυτό που λες, πηγάζει από κάποιο θεώρημα ή είναι γενικός εμπειρικός κανόνας όταν μας βγαίνει 0 να το κοιτάμε και λίγο πιο δίπλα ?grigkost έγραψε:Σε κάθε σημείο έχουμε . Όμως για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει μόνο θετικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε όλα τα σημεία η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Αντίθετα για για κάθε υπάρχει μια μικρή περιοχή στην οποία η παίρνει αρνητικές τιμές εκτός από το σημείο όπου μηδενίζεται. Επομένως σε αυτά τα σημεία η δεν παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες