Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Φανης Θεοφανιδης · #1

Δίνονται όλα τα ορθογώνια τρίγωνα περιμέτρου

.

Να βρεθεί πιο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:Δίνονται άπειρα ορθογώνια τρίγωνα περιμέτρου .

Να βρεθεί πιο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

Πολλά πράγματα δεν καταλαβαίνω με την ερώτηση. Πρώτον, τι δουλειά έχει στον φάκελο
ΟΔΗΓΙΕΣ LaTeX - ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ - ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - EBOOKS - ΝΕΕΣ ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ ‹ Νέες Προσθήκες

Αλλά επί της ουσίας τώρα.

Εξετάζουμε τα άπειρα το πλήθος τρίγωνα με πλευρές $\displaystyle{\frac {2rt}{1+t},\, \frac { {\color {red} {\cancel 2}} r(1-t^2)}{1+t},\, \frac {{\color {red}{\cancel 2}}r(1+t^2)}{1+t}$ (έκανα μικρή τυπογραφική διόρθωση) όπου

οποιοσδήποτε αριθμός στο (ανοικτό) διάστημα $\left (0,\, \frac {1}{3}\right )$ . Εύκολα ελέγχουμε, βασιζόμενοι στην ταυτότητα (2t)^2+(1-t^2)^2=(1+t^2)^2

, ότι τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και ότι έχουν περίμετρο

.

Το εμβαδόν του τυχαίου τριγώνου είναι $\displaystyle{\frac {1}{2}\frac {2rt}{1+t}\frac {r(1-t^2)}{1+t}= \frac {r^2(t-t^3)}{(1+t)^2}$ ,

Η συνάρτηση $\displaystyle{ \frac {(t-t^3)}{(1+t)^2}$ έχει παράγωγο $\displaystyle{ \frac {1-t-3t^2-t^3}{(1+t)^3}> \frac {1-\frac {1}{3}-\frac {3}{3^2}-\frac {1}{3^3}}{(1+t)^3} >0$ , οπότε είναι γνήσια αύξουσα στο (ανοικτό) διάστημα $\left (0,\, \frac {1}{3}\right )$ . Πλην όμως δεν έχει μέγιστη τιμή στο εν λόγω (ανοικτό) διάστημα, που σημαίνει ότι κανένα από τα τρίγωνα δεν έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

Μ.

Edit: Έκανα διόρθωση τυπογραφικού σφάλματος.

ealexiou · #3

Μία σκέψη...
Θεωρώντας ότι η περίμετρος των άπειρων τριγώνων είναι σταθερή και ίση με

, διαπιστώνω ότι η περίμετρος, έστω $\Pi$ , που μελετήθηκε παραπάνω είναι:

$\Pi =\dfrac{2rt}{1+t}+\dfrac{2r(1-t^2)}{1+t}+\dfrac{2r(1+t^2)}{1+t}=$ $\dfrac{2rt+4r}{1+t}=$ $\dfrac{2r(t+2)}{1+t}$

Άρα δεν είναι σταθερή, αφού εξαρτάται από το

, άρα σωστή μεν αλλά εκτός θέματος η λύση, τουλάχιστον έτσι νομίζω με τα λίγα μαθηματικά που θυμάμαι και τα επίσης λίγα που μαθαίνω τώρα...
Έτσι τα τρίγωνα, καθώς το διάστημα τιμών είναι ανοικτό $(0, \frac{1}{3})$ , μπορούν διαρκώς να μεγαλώνουν και και φυσικά και το μέγιστο εμβαδόν της κάθε περίπτωσης καθώς το

πλησιάζει στο $\dfrac{1}{3}$ και ποτέ δεν φτάνει σε αυτό. Αν όμως το διάστημα - και ανεξάρτητα που και πάλι δεν θα έχουμε σταθερή περίμετρο – είναι το $(0,\frac{1}{3}]$ ;

Γυρίζοντας στο θέμα που έβαλε ο Φάνης, “άπειρα τρίγωνα περιμέτρου ”, διαισθητικά και με κάποια επιφύλαξη θεωρώ ότι το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει το ισοσκελές.

Δηλαδή το τρίγωνο πλευρών $x,x,(2r-2x)\Rightarrow$ $2x^2=\left(2r-2x\right)^2 \Rightarrow x=r(2-\sqrt{2})$ .

Άρα ορθογώνιες πλευρές $b=c=r\left(2-\sqrt{2}\right)$ και υποτείνουσα $a=r\left(2-\sqrt{2}\right)\sqrt{2}=2\left(\sqrt{2}-1\right)r$

#4

ealexiou έγραψε:Θεωρώντας ότι η περίμετρος των άπειρων τριγώνων είναι σταθερή και ίση με , διαπιστώνω ότι η περίμετρος, έστω $\Pi$ , που μελετήθηκε παραπάνω είναι:

$\Pi =\dfrac{2rt}{1+t}+\dfrac{2r(1-t^2)}{1+t}+\dfrac{2r(1+t^2)}{1+t}=$ $\dfrac{2rt+4r}{1+t}=$ $\dfrac{2r(t+2)}{1+t}$

Έχεις δίκιο αλλά πρόκειται για τετριμμένο τυπογραφικό μου σφάλμα. Μπήκαν κάποια

παραπάνω, εκ τυπογραφικής αβλεψίας. Άλλωστε είναι ΠΡΟΦΑΝΕΣ ότι πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα γιατί αμέσως από κάτω γράφω την ταυτότητα (2t)^2+(1-t^2)^2=(1+t^2)^2

, που δίνει την συνθήκη ορθογωνιότητας (είναι η πασίγνωστες Πυθαγόρειες τριάδες), όπου τα δυάρια δεν (ξανα)μπήκαν. Έκανα την διόρθωση και ζητώ συγνώμη για το, έστω από χιλιόμετρα ορατό, τυπογραφικό μου σφάλμα.

ealexiou έγραψε:Αν όμως το διάστημα - και ανεξάρτητα που και πάλι δεν θα έχουμε σταθερή περίμετρο – είναι το $(0,\frac{1}{3}]$ ;

Από εδώ φαίνεται ότι μάλλον δεν έγινε κατανοητή η ουσία αυτού που γράφω (πέρα από το τυπογραφικό μου σφάλμα, που είναι όντως σφάλμα). Η ουσία είναι ότι βρήκα άπειρα ορθογώνια τρίγωνα σταθερής περιμέτρου, κανένα από τα οποία δεν έχει μέγιστο εμβαδόν: Το κεντρικό στοιχείο στο αντιπαράδειγμά μου είναι ότι το διάστημα είναι ανοικτό. Αν αλλάξουμε το διάστημα (π.χ. να το κάνουμε κλειστό), τότε πρόκειται ΓΙΑ ΑΛΛΗ οικογένεια ορθογωνίων τριγώνων. Το τι κάνει αυτή η ΑΛΛΗ οικογένεια είναι αδιάφορο. Το ερώτημα είναι αν είναι σωστό το ζητούμενο, και έδειξα ότι δεν είναι είναι.

ealexiou έγραψε: – είναι το $(0,\frac{1}{3}]$ ;

Γυρίζοντας στο θέμα που έβαλε ο Φάνης, “άπειρα τρίγωνα περιμέτρου ”, διαισθητικά και με κάποια επιφύλαξη θεωρώ ότι το μεγαλύτερο εμβαδόν το έχει το ισοσκελές.

Δεν είναι σωστό αυτό ακόμη και αν πάρουμε το διάστημα κλειστό, δηλαδή το $(0,\frac{1}{3}]$ . Τώρα έχουμε μεν μέγιστο τρίγωνο, είναι για το t=1/3

, πλην όμως το τρίγωνο έχει πλευρές $\frac {r}{2} , \, \frac {2r}{3} , \frac {5r}{6}$ που βέβαια δεν είναι ισοσκελές.

Φανης Θεοφανιδης · #5

Έστω

οι κάθετες πλευρές του τριγώνου που ζητάμε,

η υποτείνουσα και

το εμβαδόν του.
Άρα
x+y+z=2r

$xy=2E\left(1 \right)$
$x^{2}+y^{2}=z^{2}$
Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων έχουμε
$z=\frac{r^{2}-E}{r}$ $\left(2 \right)$
$x+y=\frac{r^{2}+E}{r}$ $\left(3 \right)$
Έστω S=x+y

και

Ο Vieta λέει ότι για τα

,

έχουμε πραγματικές λύσεις
αν και μόνο αν
$S^{2}-4P\geq 0\Leftrightarrow E^{2}-6r^{2}E+r^{4}=0\Leftrightarrow \Leftrightarrow E\geq r^{2}\left(3+2\sqrt{2} \right)$ $\left(4 \right)$
ή $E\leq r^{2}\left(3-2\sqrt{2} \right)$ (5)

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις
1) Από την $\left(2 \right)$ και $\left(4 \right)$ έχουμε ότι $z\leq 0$ που είναι άτοπο
2) Από την $\left(5 \right)$ συμπεραίνουμε ότι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να
πάρει το

είναι $E=r^{2}\left(3-2\sqrt{2} \right)$
Από την $\left(1 \right)$ και $\left(3 \right)$ για $E=r^{2}\left(3-2\sqrt{2} \right)$
προκύπτει ότι $x=y=r\left(2-\sqrt{2} \right)$
Επομένως το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν.

#6

Το σφάλμα στον συλλογισμό είναι εδώ

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: προκύπτει ότι $x=y=r\left(2-\sqrt{2} \right)$

Η τιμή αυτή των x, y

μπορεί να μην είναι από τις επιτρεπτές τιμές που μπορεί να πάρουν τα άπειρα το πλήθος ορθογώνια τρίγωνα της οικογένειάς μας.

Μάλιστα μου κάνει εντύπωση η εμμονή στο σφάλμα αφού έδωσα παράδειγμα άπειρης οικογένειας ορθογωνίων τριγώνων με περίμετρο

από τα οποία ΚΑΝΕΝΑ από αυτά δεν έχει μέγιστο εμβαδόν.

Προφανώς η σύγχυση στα παραπάνω είναι ότι θεωρεί ότι μία άπειρη οικογένεια ορθογωνίων τριγώνων δεδομένης περιμέτρου είναι ΟΛΑ τα ορθογώνια τρίγωνα με αυτή την περίμετρο. Αν γίνει κατανοητό ότι δεν είναι ΟΛΑ, τότε θα φανεί καθαρά που είναι το λογικό σφάλμα στον παραπάνω συλλογισμό. Αν δεν γίνει κατανοητό, τότε αδυνατώ
να πω περισσότερα. Σηκώνω τα χέρια ψηλά.

Για να κλείσω, τα παραπάνω δείχνουν το απλό και γνωστό ότι από όλα τα ορθογώνια με δεδομένη περίμετρο, το ισοσκελές είναι το μέγιστο. Ένας απλός τρόπος να το (ξανα)δούμε είναι με σχήμα, όπου είναι προφανές ότι το ψηλότερο σημείο του κύκλου είναι η κορυφή του (αφήνω το σχήμα ως απλό). Άλλος τρόπος να το δούμε είναι ο παραπάνω αλλά υπάρχουν και πολλοί άλλοι, καλύτεροι τρόποι. Όμως η ερώτηση ΔΕΝ ΜΙΛΟΥΣΕ ΓΙΑ ΟΛΑ ΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ, αλλά για ΚΑΠΟΙΟ άπειρο υποσύνολό τους. Κατανοητό; Ελπίζω.

Ελπίζω να ξεκαθάρισα που είναι το σφάλμα στον συλλογισμό.

Φανης Θεοφανιδης · #7

Κατόπιν των σωστών παρατηρήσεων του Μιχάλη Λάμπρου
διορθώνω την εκφώνηση του θέματος.

#8

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: διορθώνω την εκφώνηση του θέματος.

Τώρα όλα καλά. Όπως ανέφερα, υπάρχουν και καλύτεροι τρόποι απόδειξης του ζητούμενου, οπότε ας δούμε έναν:

Η υπόθεση είναι $\displaystyle{x+y+\sqrt {x^2+y^2} = 2r}$ . Άρα, από την $a^2+b^2\ge 2ab$ με ισότητα αν και μόνον αν a=b

, έχουμε

$\displaystyle{2r =x+y+\sqrt {x^2+y^2} \ge 2\sqrt {xy} + \sqrt {2xy}= (2+\sqrt 2) \sqrt {xy} = (2+\sqrt 2) \sqrt {2E} }$ με ισότητα όταν x=y

(ισοσκελές). Λύνοντας ως προς

βρίσκουμε αμέσως το μέγιστο εμβαδόν.

Ας επιστρέψω στο ερώτημα όπως ήταν διατυπωμένο αρχικά, όπου τα τρίγωνα ήσαν άπειρα το πλήθος, αλλά για το οποίο κατασκεύασα αντιπαράδειγμα όπου κανένα τρίγωνο δεν είναι το μέγιστο. Για όφελος των μαθητών μας, γράφω τον τρόπο σκέψης κατασκευής του αντιπαραδείγματος. Αν είχε γίνει κατανοητός από όλους, δεν θα είχαμε το εσπευσμένο αλλά και αμετροεπές σχόλιο

ealexiou έγραψε: Άρα δεν είναι σταθερή, αφού εξαρτάται από το , άρα σωστή μεν αλλά εκτός θέματος η λύση, τουλάχιστον έτσι νομίζω με τα λίγα μαθηματικά που θυμάμαι

αν και επρόκειτο για ένα οφθαλμοφανές τυπογραφικό (αλλά όχι Μαθηματικό) μου σφάλμα.

ΣΚΕΨΗ:

Αρχίζουμε με μία άπειρη οικογένεια ορθογωνίων τριγώνων. Θα μπορούσε να ήταν η $2t, \, 1-t^2, \, 1+t^2$ ή η $\sin \theta,\, \cos \theta,\, 1$ ή όποια άλλη μας βολεύει. Ας μείνουμε στην πρώτη.

Η οικογένεια αυτή δεν έχει περίμετρο

. Κανένα πρόβλημα. Την πολλαπλασιάζουμε επί κατάλληλη σταθερά c_t

(που εξαρτάται από τρίγωνο σε τρίγωνο) ώστε να αποκτήσει την περίμετρο που θέλουμε. Τώρα τα τρίγωνα είναι όμοια προς τα αρχικά (για να μην χαλάσουμε την συνθήκη ορθογωνιότητας) και συγκεκριμένα τα $2tc_t, \, (1-t^2)c_t, \, (1+t^2)c_t$ .

Πόσο πρέπει να είναι το c_t;

. Μα φυσικά $\displaystyle{ \frac {2r}{2t+(1-t^2)+(1+t^2)} = \frac {r}{1+t}}$

Με άλλα λόγια, τα τρίγωνα είναι τα $\displaystyle{\frac {2rt}{1+t},\, \frac { r(1-t^2)}{1+t},\, \frac {r(1+t^2)}{1+t}$ (αυτή την φορά ήμουν προσεκτικός και δεν έβαλα το παραπανίσιο δυάρι στους δύο αριθμητές. Για κακή μου τύχη μπήκε εκεί επειδή έκανα κοπή/αντιγραφή το πρώτο κλάσμα, και συμπλήρωσα τα υπόλοιπα στοιχεία αλλά ξεχνώντας να σβήσω το παρείσακτο

.)

Υπολογίζουμε τώρα το εμβαδόν. Είναι όσο είναι, ως συνάρτηση του

. Μένει να επιλέξουμε διάστημα μεταβολής παραμέτρου

, κάποιο διάστημα που η συνάρτηση του εμβαδού δεν έχει μέγιστο. Ένας τρόπος (ο ευκολότερος) είναι να εντοπίσουμε ένα διάστημα όπου η συνάρτηση είναι αύξουσα, αλλά να κόψουμε το δεξί άκρο (όπου θα λάμβανε το μέγιστο). Έτσι δεν λαμβάνει μέγιστο.

That is all folks.

M.

Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Re: Άπειρα ορθογώνια τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση