Συνέχεια συνάρτησης

#1

Καλησπέρα σε όλους.Δίνω μια καλή άσκηση στη συνέχεια συνάρτησης.
Έστω αύξουσα συνάρτηση f : $[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία αν $\displaystyle{0 \le x_1 < x_2 < x_3 < 1}$ να ισχύει $\displaystyle{\frac{{f(x_3 ) - f(x_2 )}}{{x_3 - x_2 }} \ge \frac{{f(x_2 ) - f(x_1 )}}{{x_2 - x_1 }}}$ . Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x_0 }$ , με $\displaystyle{0 \le x_0 < 1}$ ,η f είναι συνεχής.

EDIT:

Αλλαγή σε Latex...

#2

Καλά κοίτα σύμπτωση!! Την ώρα που έστελνα τις δύο ασκήσεις σκεφτόμουνα τον γενικό ορισμό της κυρτης συνάρτησης. Και να η άσκηση του Χρήστου.
Ελπίζω να μην έχει αντίρρηση να προσθέσω και εγώ ένα ερώτημα:

Να αποδείξετε ότι μία συνάρτηση σε ένα διάστημα $\Delta$ έχει την ιδιότητα που αναφέρει ο Χρήστος αν και μόνο αν έχει την ακόλουθη:
Γιά κάθε $\alpha ,\beta \in \left[ 0,1\right]$ με $\alpha +\beta =1$ και κάθε $x,y\in \Delta$ ισχύει $f\left( \alpha x+\beta y\right)\leq \alpha f\left( x\right) +\beta f\left( y\right)$

Μαυρογιάννης

#3

Για p < q < r θέτουμε a = (r-q)/(r-p) και b = (q-p)/(r-p) οπότε a, b $\in$ [0,1] και a + b = 1. Επίσης ισχύει q = ap + bq. Έτσι η σχέση

$f(ap+br) \leq af(p) + bf(r)$

που έγραψε ο Νίκος γίνεται

f(q) $\leq \frac{r-q}{r-p}f(p) + \frac{q-p}{r-p}f(r)$ (1)

που με τη σειρά της γράφεται

$\frac{f(r)-f(q)}{r-q} \geq \frac{f(q)-f(p)}{q-p}$

δηλαδή η σχέση που έγραψε ο Χρήστος, και αντίστροφα.

Αφού f αύξουσα, για κάθε p < q ισχύει f(p) $\leq$ f(q). Άρα, κρατώντας το q σταθερό και παίρνοντας όριο του p αυξάνοντος
προς το q, το όριο της f(p) υπάρχει και είναι μικρότερο ή ίσο του f(q), συμβολικά

$lim_{p \rightarrow q-}f(p) \leq f(q)$ (2)

Από την (1) παίρνοντας όριο (πάλι) του p αυξάνοντος προς το q, έπεται

$f(q) \leq lim_{p \rightarrow q-}f(p)$ (3)

Οι (2) και (3) μαζί δείχνουν ότι για κάθε σταθερό q ισχύει

$lim_{p \rightarrow q-}f(p) = f(q)$ (4)

θα δείξουμε την ανάλογη ισότητα για δεξιά όρια.

Σε αυτή την περίπτωση, όπως ακριβώς στην (2) και χρησιμοποιώντας ότι η f είναι αύξουσα, έχουμε προφανώς

$f(r) \leq lim_{t \rightarrow r+}f(t)$ (5)

Και από την (1) εργαζόμενοι με το r ως σταθερό και να μεταβαλλόντας το q έχουμε

$lim_{q \rightarrow r+}f(q) \leq f(r)$ (6)

Οι (5) και (6) δίνουν ότι

$lim_{q \rightarrow r+}f(q) = f(r)$ (7)

Οι (4) και (7) δείχνουν ότι για κάθε s το όριο $lim_{x \rightarrow s}f(x)$ υπάρχει, και ισούται με f(s). Άρα η f είναι παντού συνεχής.

Ουφ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#4

Καλησπέρα σας.Νομίζω πως οφείλω ένα μεγάλο ευχαριστώ στον Κύριο Λάμπρου για την εκπληκτικά όμορφη και κομψή λύση του.Είναι πραγματικά,πολύ μεγάλο σχολείο η παρακολούθηση της σκέψης σας και της εκφρασής σας...
Πραγματικά μου ανοίγετε νέους ορίζοντες...Οχι μόνο σε μένα φυσικά!

#5

Χρήστο,

Πρώτα από όλα ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Μου δίνουν κουράγιο
για να συνεχίσω να μοιράζομαι τα καλά με τους αγαπητούς συναδέλφους και φίλους.

Ξανασκέφτηκα λίγο την άσκησή σου: Αποδεικνύεται, γενικότερα, ότι μία κυρτή συνάρτηση είναι συνεχής ακόμα
και χωρίς την υπόθεση ότι είναι αύξουσα.

Η υπόθεση ότι είναι αύξουσα, χρησιμοποιήθηκε ουσιαστικά σε αυτά που έγραψα.
Όμως, με παραλλαγή της απόδειξης και λίγο ακόμα κόπο, μπορεί να αποφευχθεί αυτή η υπόθεση.
Το γενικότερο στηρίζεται στην παρατήρηση ότι για κάθε σταθερό p η

$F(q) = \frac{f(q)-f(p)}{q-p}$

είναι αύξουσα συνάρτηση του q.

Αφήνω τις λεπτομέρειες στον αναγνώστη γιατί ετοιμαζόμαστε να πάμε σε φίλους για να υποδεχθούμε το νέο έτος.

Φιλικά,

Μιχάλης.

ΚΑΛΗ ΠΡΩΤΟΧΡΟΝΙΑ

Συνέχεια συνάρτησης

Συνέχεια συνάρτησης

Re: Συνέχεια συνάρτησης

Re: Συνέχεια συνάρτησης

Re: Συνέχεια συνάρτησης

Re: Συνέχεια συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση