Mια βασική άσκηση.

#1

Αλλά δύσκολη
-------------------------------------------------------------------------------------
Αν η φ παραγωγίσιμη στο R , ν.δ.ο υπάρχει ξ τέτοιο ώστε φ΄(ξ)=εφξ.
-------------------------------------------------------------------------------------
Αργότερα θα δώσω και ένα διάστημα .........

#2

Άκυρη η "λύση".

Αλέξανδρος

#3

cretanman έγραψε:Άκυρη η "λύση".

Αλέξανδρος

Tι εννοείς...............

#4

Κώστα είχα γράψει κάποιες σκέψεις οι οποίες όμως δεν λειτουργούσαν για την άσκηση, τις έσβησα και γι' αυτό έγραψα άκυρη η (υποτιθέμενη) λύση μου.

Αλέξανδρος

k-ser · #5

Αλέξανδρε,
έτυχε να δω τη λύση σου. Μπορείς να τη διορθώσεις εύκολα, αν δεν τόχεις κάνει ήδη!
"Βγάλε το ln και πάρε το διάστημα [-π/2,π/2].

#6

Θεωρούμε τη συνάρτηση $F(x)=e^{\varphi(x)}\cos(x)$ περιορισμένη στο διάστημα $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

Φανερά $F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ , άρα υπάρχει $\xi\in\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ τέτοιο ώστε $F^{\prime}(\xi)=0$ , και το ζητούμενο έπεται.

Αλέξανδρος

#7

Ευχαριστώ πολύ κύριε Σερίφη! Μόλις το είχα δει αφού παραγωγίζοντας την προηγούμενη συνάρτηση, είχα αυτό που ήθελα στον αριθμητή οπότε αρκούσε να θεωρήσω τη συγκεκριμένη συνάρτηση αντί εκείνης που είχα θεωρήσει στην αρχή!

Αλέξανδρος

#8

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Αλλά δύσκολη
-------------------------------------------------------------------------------------
Αν η φ παραγωγίσιμη στο R , ν.δ.ο υπάρχει ξ τέτοιο ώστε φ΄(ξ)=εφξ.
-------------------------------------------------------------------------------------

Αξίζει ένα σχόλιο εδώ για να μην φαίνεται «ουρανοκατέβατη» η επιλογή του “cos(x)” που έχει ο Αλέξανδρος στη λύση του.

Πιο γενικά, αν μας δίνεται g συνεχής και θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει ξ με φ’ (ξ) = g(ξ), τότε το πρώτο πράγμα που εξετάζουμε είναι η
$F(x) = e^{\phi(x)}e^ \left(-\int g(x)dx \right)$ (παραγωγίστε να δείτε τι γίνεται) .

Εννοείται ότι, ανάλογα με την g που θα μας δώσουν, επιλέγουμε και το κατάλληλο κλειστό σύνολο που θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. Αν δίνεται κάποιο σύνολο [a, b] αναφοράς, τότε συχνά (όχι πάντα!!!) εργαζόμαστε σε αυτό και αντικαθιστούμε το $-\int g(x)dx$ παραπάνω με το $-\int_{a}^{x}{g(t)dt}$ .

Τι κάνει την συγκεκριμένη g του Κώστα δύσκολη (g(x) = εφx) είναι ότι απειρίζεται στο «φυσιολογικό» σύνολο αναφοράς [-π/2, π/2]. Ευτυχώς, για την συγκεκριμένη, το αόριστο ολοκλήρωμα $-\int g(x)dx$ είναι «καλό» (δίνει $e^ {\left(-\int g(x)dx \right)} = cos(x)$ ) στο ίδιο διάστημα, και όλα ήρθαν στη θέση τους.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

#9

------------------------------------------------------------------------------------
Αν η φ παραγωγίσιμη στο R , ν.δ.ο υπάρχει ξ τέτοιο ώστε φ΄(ξ)=εφξ.
-------------------------------------------------------------------------------------
Οπως την εχω λυμενη,,
1ος Τροπος

$\displaystyle{\begin{array}{l} \Gamma \iota \alpha {\rm{ }}x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right){f^\prime }\left( x \right) = \varepsilon \phi x \Leftrightarrow {f^\prime }\left( x \right) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Leftrightarrow \\ {f^\prime }\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - \sigma \upsilon \nu x} \right)}^\prime }}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Leftrightarrow {f^\prime }\left( x \right) = {\left( { - \ln \sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } \Leftrightarrow \\ {\left( {f\left( x \right) + \ln \sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } = 0,,,x \in \left( { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right) \\ {\left( {\ln {e^{f\left( x \right)}} + \ln \sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } = 0 \\ {\left( {\ln \left( {{e^{f\left( x \right)}}\sigma \upsilon \nu x} \right)} \right)^\prime } = 0 \\ \end{array}}$ .
Εφαρμόζουμε Rolle για την $\displaystyle{g(x) = {e^{ - f(x)}}\sigma \upsilon \nu x}$
στο (-π/2 ,π/2)

2ος Τροπος
$\displaystyle{{f^\prime }\left( x \right) = \varepsilon \phi x \Leftrightarrow {f^\prime }\left( x \right) = \frac{{\eta \mu x}}{{\sigma \upsilon \nu x}} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x{f^\prime }\left( x \right) - \eta \mu x = 0}$
[Επειδή δεν έχουμε άλλο f θα μαζέψουμε το f ΄(χ) επί $\displaystyle{\displaystyle {e^{f(x)}}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu x{e^{f(x)}}{f^\prime }\left( x \right) - {e^{f(x)}}\eta \mu x = 0 \Leftrightarrow \\ \sigma \upsilon \nu x{\left( {{e^{f(x)}}} \right)^\prime } + {e^{f(x)}}{\left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)^\prime } = 0 \\ {\left( {\sigma \upsilon \nu x{e^{f(x)}}} \right)^\prime } = 0 \\ \end{array}}$

Εφαρμόζουμε Rolle για την $\displaystyle{g(x) = {e^{ - f(x)}}\sigma \upsilon \nu x}$
στο (-π/2 ,π/2)

Mια βασική άσκηση.

Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Re: Mια βασική άσκηση.

Μέλη σε σύνδεση