δύσκολο όριο

kostakos ale · #1

Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}\,, \ \alpha\in\mathbb{R}$

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Μπήκαν τόνοι στις λέξεις, απομακρύνθηκε το συνημμένο και γράφτηκε το κείμενο σε LATEX, όπως απαιτούν οι κανονισμοί μας.

#2

kostakos ale έγραψε:Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}\,, \ \alpha\in\mathbb{R}$

Δεν θα έλεγα ότι είναι δύσκολο όριο. Αντιθέτως υπάρχει παρόμοιο σε όλα τα σχολικά και φροντιστηριακά βιβλία.

Θα δώσω υπόδειξη για να έχεις την ευκαιρία να το επεξεργαστείς μόνος σου.

Πολλαπλασίασε τον αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση. Αυτό που θα προκύψει στον αριθμητή παραγοντοποιείται ως (x-a)(x-2a)

.

M.

kostakos ale · #3

Κολλάω σε ένα σημείο.

#4

Μικρή ακόμα υπόδειξη:

Διακρίνεις περιπτώσεις $a>0, \ a<0, \, a=0$ . Στην πρώτη περίπτωση εμφανίζεται το $\frac {x-a}{x-a}=1$ . Στην δεύτερη το $\frac {x-a}{-x -a}$ , και λοιπά.

Μ.

kostakos ale · #5

Η απόλυτος

όμως μηδενίζεται για όπου x=a

. Θα πρέπει να πάρω και πλευρικά;

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διορθώθηκαν, για δεύτερη φορά, τα σύμβολα που δεν είναι σε LATEX, ώστε να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς του φόρουμ.

#6

kostakos ale έγραψε:Η απόλυτος όμως μηδενίζεται για όπου . Θα πρέπει να πάρω και πλευρικά;

Δες την πρώτη περίπτωση που περιγράφω παραπάνω.

kostakos ale · #7

Α κατάλαβα ευχαριστώ

#8

κάπως αναλυτικότερα:

$\displaystyle{f(x)}={\frac{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}-\alpha}{|{x}|-\alpha}}={\frac{{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}\,}^2-\alpha^2}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}=$

$\displaystyle{\frac{x^2-3\alpha{x}+2\alpha^2}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}={\frac{({x-\alpha})\,({x-2\alpha})}{({|{x}|-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}},$

$\alpha\in\mathbb{R}$ .

$i) \ \alpha<0\,, \quad \displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{({x-\alpha})\,({x-2\alpha})}{({-x-\alpha})\,\bigl({\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}\bigr)}}=$
$\dfrac{0}{-2\alpha\,\bigl({\sqrt{\alpha^2}+\alpha}\bigr)}=0$ .

$ii) \ \alpha=0\,,\quad\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{\frac{x}{\sqrt{x^2}}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}{\frac{x}{|x|}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{-}}-1=-1$ .

$\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{\sqrt{x^2}}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}{\frac{x}{|x|}}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}1=1$ .

Άρα το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0}}{f(x)}$ δεν υπάρχει.

$iii) \ \alpha>0\,,\quad\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{f(x)}=\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow\alpha}{\frac{x-2\alpha}{\sqrt{x^2-3\alpha{x}+3\alpha^2}+\alpha}}=\frac{-\alpha}{\sqrt{\alpha^2}+\alpha}=-\frac{1}{2}\,.\quad\square$

kostakos ale · #9

Τι αποτέλεσμα βγαίνει στο τέλος;

kostakos ale · #10

Ευχαριστώ πάρα πολύ

kostakos ale · #11

Για το όριο όταν το a=0

και το

τείνει στο μηδέν μείον μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο τι κάνεις ;

#12

kostakos ale έγραψε:Για το όριο όταν το και το τείνει στο μηδέν μείον μπορείς να μου εξηγήσεις λίγο τι κάνεις ;

Tώρα που βρήκες συνονόματο...ταραξέ τον.(στις ερωτήσεις!)

kostakos ale · #13

Κανείς;

chris · #14

Για

είναι :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\left|x \right|}$

διακρίνουμε 2 υποπεριπτώσεις :
-αν το

τείνει στο

απο τα αριστερά δηλαδή απο τα αρνητικά είναι:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{x}{-x}=-1$
-αν τείνει στο

από τα δεξιά είναι:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x}{x}=1$

άρα δεν υπάρχει το όριο.

δύσκολο όριο

δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Re: δύσκολο όριο

Μέλη σε σύνδεση