Δυο κλασικες ασκησεις

#1

Δυο κλασικες ασκησεις.
Νομιζω οτι ερχεται η σειρα τους
Της στελνω σε γενικη μορφη
Εχω δυο λυσεις αλλα μου αρεσει μονο η μια .
Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α ,β] και ικανοποιεί τις σχέσεις f(α)=α >0 και f(β)=β .
A…Να δειχτεί ότι υπάρχουν x_1 ,x_2

που ανήκουν στο (α , β) ώστε $\displaystyle{\displaystyle \frac{{\rm{1}}}{{{\rm{a}}{f^\prime }\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{{\rm{1}}}{{\beta {f^\prime }\left( {{x_2}} \right)}} = \frac{{\beta + \alpha }}{{\beta \alpha }}}$

[B…Να δειχτεί ότι υπάρχουν x_1 ,x_2

που ανήκουν στο (α , β) ώστε $\displaystyle{\displaystyle {\rm{a}}{f^\prime }\left( {{x_1}} \right) + \beta {f^\prime }\left( {{x_2}} \right) = \beta + \alpha }$

Τερμα το LAtex μια ωρα να γραψω μια σειρα ............είναι επιτέλους σωστά γραμμένη.

: Clipboard011111111111111111.png (4.25 KiB) Προβλήθηκε 2275 φορές

#2

Ας πάρουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς p,q

. Αν πάρουμε ένα σημείο $\gamma$ κατά τρόπο ώστε $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\gamma }=\frac{p}{q}$ και εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής σε κάθε ένα από τα $\left[ \alpha ,\gamma \right] ,\left[ \gamma ,\beta \right]$ θα βρούμε ότι υπάρχουν κατάλληλα x_1,x_2

ώστε
$f\left( \gamma \right) -f\left( \alpha \right) =f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( \gamma -\alpha \right)$
$f\left( \beta \right) -f\left( \gamma \right) =f^{\prime }\left( x_{2}\right) \left( \beta -\gamma \right)$
οπότε έχουμε
$f\left( \beta \right) -f\left( \alpha \right) =f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( \gamma -\alpha \right) +f^{\prime }\left( x_{2}\right) \left( \beta -\gamma \right)$
και αξιοποιώντας την υπόθεση καταλήγουμε στο ότι
$pf^{\prime }\left( x_{1}\right) +qf^{\prime }\left( x_{2}\right) =p+q$
Αυτή η διάταξη απαντάει στο δεύτερο ερώτημα. Θα απαντούσε και στο πρώτο αν στο α' μέλος ήταν $\frac{1}{\alpha }f^{\prime }\left( x_{1}\right) +\frac{1}{\beta }f^{\prime }\left( x_{2}\right)$
Κώστα η εκφώνηση στο 1ο ερώτημα είναι σίγουρη; Με $f\left( x\right) =x$ μου φαίνεται ότι δεν δουλεύει. Αν θες δές το και συ.
Μαυρογιάννης

#3

Νίκο την διόρθωσα με ταλαιπωρεί το latex.....

nsmavrogiannis έγραψε:Ας πάρουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς . Αν πάρουμε ένα σημείο $\gamma$ κατά τρόπο ώστε $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\gamma }=\frac{p}{q}$ και εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής σε κάθε ένα από τα $\left[ \alpha ,\gamma \right] ,\left[ \gamma ,\beta \right]$ θα βρούμε ότι υπάρχουν κατάλληλα ώστε
$f\left( \gamma \right) -f\left( \alpha \right) =f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( \gamma -\alpha \right)$
$f\left( \beta \right) -f\left( \gamma \right) =f^{\prime }\left( x_{2}\right) \left( \beta -\gamma \right)$
οπότε έχουμε
$f\left( \beta \right) -f\left( \alpha \right) =f^{\prime }\left( x_{1}\right) \left( \gamma -\alpha \right) +f^{\prime }\left( x_{2}\right) \left( \beta -\gamma \right)$
και αξιοποιώντας την υπόθεση καταλήγουμε στο ότι
$pf^{\prime }\left( x_{1}\right) +qf^{\prime }\left( x_{2}\right) =p+q$
Αυτή η διάταξη απαντάει στο δεύτερο ερώτημα. Θα απαντούσε και στο πρώτο αν στο α' μέλος ήταν $\frac{1}{\alpha }f^{\prime }\left( x_{1}\right) +\frac{1}{\beta }f^{\prime }\left( x_{2}\right)$
Κώστα η εκφώνηση στο 1ο ερώτημα είναι σίγουρη; Με $f\left( x\right) =x$ μου φαίνεται ότι δεν δουλεύει. Αν θες δές το και συ.
Μαυρογιάννης

#4

Κώστα οι παράγωγοι στην διόρθωση σου πρέπει να είναι στον αριθμητή.
Το λέω όχι μόνο για σένα αλλά και για τους άλλους φίλους που έχετε συνηθίσει να γράφετε στο MathType: Γιατί δεν γράφετε στο MathType τους τύπους και να κάνετε επικόλληση στο μμήνυμα σας. Στις οδηγίες για το LaTex υπάρχουν αναλυτικές οδηγίες από μένα, τoν Βασίλη Στεφανίδη και τον Γιώργο Ρίζο που αν τις ακολουθήσετε δεν θα χρειασθεί να χάσετε καθόλου τη βολή σας.
Μαυρογιάννης

#5

Οι παραγωγοι ειναι στον παρανομαστη. Με επικοληση δουλεω αλλα μια τη παραγωγο δεν καταλαβαινει μια τα ελληνικα ...

nsmavrogiannis έγραψε:Κώστα οι παράγωγοι στην διόρθωση σου πρέπει να είναι στον αριθμητή.
Το λέω όχι μόνο για σένα αλλά και για τους άλλους φίλους που έχετε συνηθίσει να γράφετε στο MathType: Γιατί δεν γράφετε στο MathType τους τύπους και να κάνετε επικόλληση στο μμήνυμα σας. Στις οδηγίες για το LaTex υπάρχουν αναλυτικές οδηγίες από μένα, των Βασίλη Στεφανίδη και τον Γιώργο Ρίζο που αν τις ακολουθήσετε δεν θα χρειασθεί να χάσετε καθόλου τη βολή σας.
Μαυρογιάννης

nicolae · #6

Τερμα το LAtex μια ωρα να γραψω μια σειρα ............

Όταν το μάθεις, δεν θα ξεκολήσεις. Keep Walking

Δυο κλασικες ασκησεις

Δυο κλασικες ασκησεις

Re: Δυο κλασικες ασκησεις

Re: Δυο κλασικες ασκησεις

Re: Δυο κλασικες ασκησεις

Re: Δυο κλασικες ασκησεις

Re: Δυο κλασικες ασκησεις

Μέλη σε σύνδεση