Θετική ρίζα

#1

Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυμο έχει θετική ρίζα,τότε και η παράγωγος του έχει θετική ρίζα...

Υ.Γ Η άσκηση αυτή υπάρχει άλυτη στις γενικές ασκήσεις κάποιου βιβλίου και η εκφωνησή της θεωρώ οτι είναι ελλιπής.
Φυσικά και p(x) όχι πρωτοβάθμιο,όχι δευτεροβάθμιο( π,χ αν p(χ)=(χ-1)(χ+3)),αλλά απο εκεί και πέρα...σκοτάδι!

#2

Χρήστο πράγματι η άσκηση έχει πρόβλημα. Ας πάρουμε $p\left( x\right) =x^{n}-1$ οπότε $p^{\prime }\left( x\right) =n\allowbreak x^{n-1}$ .
Μαυρογιάννης

#3

chris_gatos έγραψε:Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυμο έχει θετική ρίζα,τότε και η παράγωγος του έχει θετική ρίζα...

Υ.Γ Η άσκηση αυτή υπάρχει άλυτη στις γενικές ασκήσεις κάποιου βιβλίου και η εκφωνησή της θεωρώ οτι είναι ελλιπής.
Φυσικά και p(x) όχι πρωτοβάθμιο,όχι δευτεροβάθμιο( π,χ αν p(χ)=(χ-1)(χ+3)),αλλά απο εκεί και πέρα...σκοτάδι!

Χρήστο,
Το αντιπαράδειγμα που δίνεις, όπως και του Νίκου, υπεραρκούν. Αν θέλεις ένα για γενικό n που είναι πιο κοντά στο
δικό σου και συνδυάζει την ιδέα του Νίκου, κοίτα το (x+3)^n(x-1)

.

Υποθέτω ότι αυτό που ήθελε να πει ο συγγραφέας του βιβλίου από όπου πήρες την άσκηση είναι:

"Να αποδείξετε ότι αν ένα πολυώνυμο βαθμού n > 1 έχει n το πλήθος (μόνο) θετικές ρίζες, τότε και η παράγωγός του έχει (μόνο) θετικές ρίζες"

αλλά από διατύπωση ... τα θαλάσσωσε. Τώρα η άσκηση είναι σωστή και απλή, αλλά χρήσιμη για μαθητή που μαθαίνει Rolle εκείνη τη στιγμή.

Ας προσθέσω ότι χωρίς την υπόθεση ότι το αρχικό πολυώνυμο έχει n ρίζες, πάλι είναι λάθος η άσκηση. Π.χ. το (χ+2)(χ+1)(χ-1) - 1000 έχει μόνο μία ρίζα, είναι θετική, αλλά η παράγωγος έχει ρίζα μεταξύ -2 και -1.

Μιχάλης.

Θετική ρίζα

Θετική ρίζα

Re: Θετική ρίζα

Re: Θετική ρίζα

Μέλη σε σύνδεση