ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

#1

ΘΕΜΑ 1
Για τις διάφορες τιμές του φυσικού κ να βρεθεί το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) }$ [/tex] όπου $\displaystyle{ f(x) = \frac{{x^{k + 8} + 2001}}{{4x^{2k + 4} - x^{12} + 2001}} }$
ΛΥΣΗ
Το πρόβλημα που τίθεται είναι ποιος είναι μεγιστοβάθμιος όρος έχουμε λοιπόν της εξής περιπτώσεις
• Αν $2k+4=12\iff k=4$ τότε έχουμε

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x^{4 + 8} + 2001}}{{4x^{12} - x^{12} + 2001}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x^{12} }}{{3x^{12} }} = \frac{1}{3} }$
•Αν $2k+4>12 \iff k >4 \iff 4 –k<0$ τότε ο μεγιστοβάθμιος του παρανομαστή είναι ο $4x^{2k + 4}$ .
Άρα

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x^{k + 8} }}{{4x^{2k + 4} }} = \frac{1}{4}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x^{(k + 8) - (2k + 4)} = \frac{1}{4}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x^{4 - k} = 0 }$
• Αν $2k+4<12 \iff k <4 \iff k -4<0$ τότε ο μεγιστοβάθμιος του παρανομαστή είναι ο ${-x}^{12}$
Άρα
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x^{k + 8} }}{{ - x^{12} }} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x^{k + 8 - 12} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x^{k - 4} = 0 }$

ΑΣΚΗΣΗ
Για τις διάφορες τιμές του φυσικού

να βρεθεί το όριο $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) }$ όπου $\displaystyle{ f(x) = \frac{{x^{k + 10} + 2001}}{{4x^{2k + 4} - x^{12} + 2001}} }$

#2

Κώστα, τώρα που έβαλες τον εκθέτη ν φυσικό , η άσκηση έγινε πιο ωραία, διότι μένουμε στην ουσία και όχι στη διάκριση κουραστικών και ανώφελων περιπτώσεων.

Μπάμπης

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Re: ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Μέλη σε σύνδεση