Α.Αποστόλου έγραψε:Αν αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο του διαστήματος,
πρέπει να έχουμε τοπικό ακρότατο . Αυτό το καλύψαμε.
Άρα είναι μονότονη.
Είναι γνησίως μονότονη, το καλύψαμε και αυτό με το Rolle (με μια πιο "ελεύθερη" διατύπωση, ώστε να μην είναι πλήρως μασημένη τροφή)
Εφόσον μεrek2 έγραψε: Γιατί;; Πως προκύπτει το " γνησίως αύξουσα";;
Μάλιστα, θεωρώ ότι ήδη γράφω πολλά, αφού απο το σχόλιο στην σελίδα 261 τα μοναδικά κρίσιμα σημεία της δοσμένης
είναι τα άκρα του διαστήματος. Απο το σχόλιο στην σελίδα 264 δεν χρειάζεται να ξαναναφέρω το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Να ζητάμε απόδειξη ότι παραγωγίσιμη συνάρτηση χωρίς εσωτερικά κρίσιμα σημεία -για την οποία προκύπτει εύκολα ότι είναι "1-1"- πως είναι γνησίως μονότονη,
μάλλον είναι πλεονασμός.
Η παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο (της δοσμένης συνάρτησης πάντα)
Έχουμε απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
Έστω ότι υπάρχει με
τότε ξανά απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Τότε για κάποιο στο (δεν έχει σημασία η διάταξη) η παράγωγος δεν διατηρεί πρόσημο.
απο το θεώρημα σελ.262 σε κάποιο η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.
Καθώς είναι παραγωγίσιμη παντού, για αυτό το θα μηδενίστεί η παράγωγος, άτοπο.
Σε καμία περίπτωση δεν είναι προφανή τα παραπάνω!
Μάλλον δημιουργούν περισσότερη σύγχυση!
Μια απόδειξη της μονοτονίας μέσω ακροτάτων υπάρχει εδώ: viewtopic.php?f=61&t=51621