ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Ζητώ τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, για το ερώτημα β) της άσκησης.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57
Γράφτηκε:
Για τα υπόλοιπα χρειάζεται νομίζω και η γνώση της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της f.
Grosrouvre Δημοσιεύσεις: 209Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 15, 2014 10:37 pm
Η συνέχεια της παραγώγου δεν χρειάζεται.
Στο δ) πρέπει να προστεθεί ότι τα τρία σημεία δεν ταυτίζονται γιατί έτσι όπως είναι είναι τετριμένο.
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
ΛΥΣΗTolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 54 (ρυθμός μεταβολής)
Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο . Θεωρούμε τη συνάρτηση .
α) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .
β) Αν είναι να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο .
γ) Σημείο κινείται επί της προηγούμενης ευθείας και πλησιάζει τον άξονα με ρυθμό . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ελάχιστης απόστασης τη χρονική κατά την οποία το διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη .
α) Σύμφωνα με την υπόθεση υπάρχει και είναι .
Τώρα για είναι
Ακόμη για
γιατί
άρα η παραγωγίσιμη στο με
β) Αφού θα είναι και
επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο είναι
γ) Η απόσταση και επειδή
είναι
και επειδή το μέγεθος μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου
με ρυθμό αφού το μέγεθος μικραίνει επειδή πλησιάζει την αρχή των αξόνων θα είναι
και θέλουμε το όταν .
Παραγωγίζοντας προκύπτει ότι:
τότε και επειδή
είναι
...πιστεύω από πράξεις να πηγαμε καλά...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλη
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
-
- Δημοσιεύσεις: 296
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Για να μην μείνε μετέωρη η παραπάνω συζήτηση αναφορικά με την Άσκηση 57, ας συμπληρώσω ότι παραμένω στην προηγούμενη τοποθέτησή μου αναφορικά με τους στόχους και τις επιδιώξεις του συγκεκριμένου φακέλου.Grosrouvre έγραψε:Ζητώ τη συνέχεια της πρώτης παραγώγου, για το ερώτημα β) της άσκησης.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57
Γράφτηκε:
Για τα υπόλοιπα χρειάζεται νομίζω και η γνώση της συνέχειας της πρώτης παραγώγου της f.
Grosrouvre Δημοσιεύσεις: 209Εγγραφή: Τρί. Ιούλ. 15, 2014 10:37 pm
Η συνέχεια της παραγώγου δεν χρειάζεται.
Στο δ) πρέπει να προστεθεί ότι τα τρία σημεία δεν ταυτίζονται γιατί έτσι όπως είναι είναι τετριμένο.
Φυσικά, όντως η παραδοχή της συνέχειας της πρώτης παραγώγου είναι περιττή, λόγω του θεωρήματος Darboux.
viewtopic.php?f=61&t=2501
Και όχι μόνον.
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
ΑΣΚΗΣΗ 58
Δίνεται συνάρτηση , παραγωγίσιμη, με και
για κάθε και
1) Να δείξετε ότι
2) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
3) Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει ,
για κάθε, είναι η
4) Να δείξετε ότι για κάθε
5) Αν για την τιμή του του ερωτήματος 3, ισχύει:
για κάθε , να δείξετε ότι
Δίνεται συνάρτηση , παραγωγίσιμη, με και
για κάθε και
1) Να δείξετε ότι
2) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
3) Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει ,
για κάθε, είναι η
4) Να δείξετε ότι για κάθε
5) Αν για την τιμή του του ερωτήματος 3, ισχύει:
για κάθε , να δείξετε ότι
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
erxmer έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 58
Δίνεται συνάρτηση , παραγωγίσιμη, με και
για κάθε και
1) Να δείξετε ότι
2) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
3) Να δείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του για την οποία ισχύει ,
για κάθε, είναι η
4) Να δείξετε ότι για κάθε
5) Αν για την τιμή του του ερωτήματος 3, ισχύει:
για κάθε , να δείξετε ότι
1) Εστώ
άρα σταθερή ,έστω
για είναι άρα
συνεπώς
2)
για είναι
για είναι
και
άρα ολικό ελάχιστο.
3) θεωρώ τη συνάρτηση με και η ζητόυμενη γίνεται
και γν αύξουσα στο με και γν φθίνουσα στο με
η εξίσωση στο δεν έχει ρίζες ενώ στο έχει μοναδική ρίζα το (προφανής ρίζα , γν.μονότονη)
άρα για είναι άρα η γίνεται και δεν μπορεί να πάρει την τιμή
για είναι και πάλι η γίνεται και δεν μπορεί να πάρει την τιμή
για είναι και η γίνεται η οποία ισχύει για κάθε με
άρα
4) εφαρμόζωντας ΘΜΤ στα και ,υπάρχουν ώστε
,
όμως άρα γν. αυξουσα άρα
5) έστω και
είναι , οπότε ελάχιστο της και από Θ.Fermat
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Άσκηση 59 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)
Δίδεται πολυώνυμο για το οποίο ισχύει ότι . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο .
Άσκηση 60 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)
Έστω συνάρτηση . Δείξτε ότι τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει ακρότατα και καμπή εκτός του είναι κορυφές παραλληλογράμμου καθώς επίσης και ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία που παρουσιάζει καμπή τέμνονται σε σταθερή υπερβολή.
Δίδεται πολυώνυμο για το οποίο ισχύει ότι . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο .
Άσκηση 60 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)
Έστω συνάρτηση . Δείξτε ότι τα σημεία στα οποία η παρουσιάζει ακρότατα και καμπή εκτός του είναι κορυφές παραλληλογράμμου καθώς επίσης και ότι οι εφαπτομένες της στα σημεία που παρουσιάζει καμπή τέμνονται σε σταθερή υπερβολή.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Καλησπέρα Απόστολε! Όμορφη άσκηση!Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 59 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)
Δίδεται πολυώνυμο για το οποίο ισχύει ότι . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο .
Θεωρούμε το πολυώνμυο για το οποίο ισχύει .
Ισχύει και .
Τώρα από Rolle(το ως πολυώνυμο είναι συνεχής συνάρτηση στο και παραγωγίσιμη στο ) προκύπτει το ζητούμενο.
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Για την ιστορία, ας αναφερθεί ότι το θέμα αυτό το βρίσκουμε στο κλασικό βιβλίο του G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, ως ένα θέμα από το Mathematical Tripos του έτους 1929.Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 59 (από τις σημειώσεις του Ροδόλφου)
Δίδεται πολυώνυμο για το οποίο ισχύει ότι . Να δείξετε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου στο .
Μάγκος Θάνος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Θάνο, ευχαριστούμε για τις πληροφορίες.matha έγραψε: Για την ιστορία, ας αναφερθεί ότι το θέμα αυτό το βρίσκουμε στο κλασικό βιβλίο του G.H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, ως ένα θέμα από το Mathematical Tripos του έτους 1929.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Μπορεί κάποιο μέλος του , να λύσει παρακαλώ πολύ, την άσκηση 57. Ευχαριστώ!
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
ΑΣΚΗΣΗ 57ΈφηΚα έγραψε:Μπορεί κάποιο μέλος του , να λύσει παρακαλώ πολύ, την άσκηση 57. Ευχαριστώ!
Έστω , με και η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν και , για κάθε . Αν τα σημεία , και είναι συνεθειακά, τότε:
α. Να δείξετε ότι .
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα .
γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε .
δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοια ώστε .
EDIT: Έγινε αλλαγή στα ερωτήματα γ,δ.
Πες μας τι σε δυσκολεύει. Το πρώτο ερώτημα είναι ένα απλό ερώτημα Β' Λυκείου. Τα γ,δ είναι στάνταρ ερωτήματα που συναντά κανείς σε όλα τα βοηθήματα. Όσον αφορά το β) ερώτημα νομίζω ότι με τα δεδομένα ως έχουν δεν μπορεί να αντιμετωπιστεί από μαθητές (απαιτείται η ιδιότητα των ενδιάμεσων τιμών της παραγώγου, την οποία οι μαθητές δεν διδάσκονται).
Μάγκος Θάνος
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Γεια σας κ. Θάνο, επειδή γράφω από κινητό θα είμαι σύντομη! Το πρώτο ερώτημα δε ξέρω πως να το διαχειριστώ και στο δεύτερο νομίζω, βγαίνει με darboux αλλά δεν είμαι σίγουρη.
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
ΑΣΚΗΣΗ 61 (Από βιβλίο του Χρήστου Πατήλα)
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση με τις ιδιότητες :
, για κάθε και .
Α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της καθώς και το .
Γ) Να δείξετε ότι , .
Δ) Να υπολογίσετε το .
Ε) Να δείξετε ότι , για κάθε .
ΣΤ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , με και τις ευθείες με εξισώσεις , και .
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση με τις ιδιότητες :
, για κάθε και .
Α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Β) Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της καθώς και το .
Γ) Να δείξετε ότι , .
Δ) Να υπολογίσετε το .
Ε) Να δείξετε ότι , για κάθε .
ΣΤ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη , με και τις ευθείες με εξισώσεις , και .
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Για το (α) απαίτησε τα διανύσματα. και να είναι παράλληλα . (ορίζουσα ίση με μηδέν)ΈφηΚα έγραψε:Γεια σας κ. Θάνο, επειδή γράφω από κινητό θα είμαι σύντομη! Το πρώτο ερώτημα δε ξέρω πως να το διαχειριστώ και στο δεύτερο νομίζω, βγαίνει με darboux αλλά δεν είμαι σίγουρη.
Για το (β) όχι Darboux, είναι εκτός φακέλου. Θεώρησε την συνεχή. Ο θεματοδότης δεν βλέπω να το έχει σκοπό.
Στο (γ) με ΘΜΕΤ-ΘΕΤ ( ή και Bolzano ακόμη)
Στο (δ) με τρία ΘΜΤ σε κατάλληλα διαστήματα. Το ένα μπορεί να το έχεις ήδη κάνει στο (β).
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5227
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Άσκηση 62 (προέκυψε από ένα θέμα του Θάνου εδώ στο )
Έστω η συνάρτηση .
Έστω η συνάρτηση .
- Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντιστρόφου.
- Δεδομένου ότι η είναι συνεχής να δείξετε ότι είναι και παραγωγίσιμη με παράγωγο .
- Να δείξετε ότι
- Εάν τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
...Καλησπέρα με μία αντιμετώπιση στο 62...Tolaso J Kos έγραψε:Άσκηση 62 (προέκυψε από ένα θέμα του Θάνου εδώ στο )
Έστω η συνάρτηση .
- Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντιστρόφου.
- Δεδομένου ότι η είναι συνεχής να δείξετε ότι είναι και παραγωγίσιμη με παράγωγο .
- Να δείξετε ότι
- Εάν τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
i) H είναι παραγωγίσιμη στο με
άρα είναι γνήσια αύξουσα στο
άρα και επομένως αντιστρέφεται με και επειδή θα είναι και συνεχής
με
άρα είναι
ii) Θέλουμε το
άρα η είναι παραγωγίσιμη με και επειδή
με όπου το προκύπτει ότι
άρα είναι
iii) Θεωρώντας την είναι παραγωγίσιμη με
επομένως η είναι σταθερή στο δηλαδή είναι (1).
Τώρα επειδή θα ισχύει από (1)
άρα .
iv) Τώρα το με είναι και
άρα
και λόγω (iii)
θα είναι
άρα
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
-
- Δημοσιεύσεις: 85
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 24, 2015 8:49 am
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
για το ερώτημα (β)matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57
Έστω , με και η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν και , για κάθε . Αν τα σημεία , και είναι συνεθειακά, τότε:
α. Να δείξετε ότι .
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα .
γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε .
δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοια ώστε .
από το (α ερώτημα) το δεξί μέλος θετικό απο υπόθεση, οπότε
Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, καθότι (απο το οποίο επίσης συμπεραίνεται ότι η δεν είναι σταθερή)
Επομένως τα σημεία των πιθανών της ακροτάτων είναι τα άκρα του .
Δεν είναι σταθερή και δεν έχει άλλα ακρότατα, άρα είναι μοναδικά. (αυτό το βρίσκω περιττό να διατυπωθεί)
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη, οπότε απο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση θα πάρει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη. Εφ'όσον ισχύει , έχει προφανώς ολικό ελάχιστο στο αριστερό άκρο και ολικό μέγιστο στο δεξί.
δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα.
Συμπλήρωση κατανόησης,αν είναι απλώς μονότονη τότε υπάρχουν τέτοια ώστε
Οπότε απο το θεώρημα Rolle υπάρχει τέτοιο ώστε , άτοπο.
Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα.
(*)Ερώτηση προς βαθμολογητές πανελληνίων. Αν διαβάσετε συνεχής και "1-1", άρα γνησίως μονότοτονη, περιμένετε κάτι ακόμα ή είναι αρκετό;
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Α.Αποστόλου έγραψε:για το ερώτημα (β)matha έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 57
Έστω , με και η παραγωγίσιμη συνάρτηση , για την οποία ισχύουν και , για κάθε . Αν τα σημεία , και είναι συνεθειακά, τότε:
α. Να δείξετε ότι .
β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα .
γ. Να δείξετε ότι, υπάρχει μοναδικό τέτοιο, ώστε .
δ. Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοια ώστε .
από το (α ερώτημα) το δεξί μέλος θετικό απο υπόθεση, οπότε
Η συνάρτηση δεν παρουσιάζει τοπικά ακρότατα, καθότι (απο το οποίο επίσης συμπεραίνεται ότι η δεν είναι σταθερή)
Επομένως τα σημεία των πιθανών της ακροτάτων είναι τα άκρα του .
Δεν είναι σταθερή και δεν έχει άλλα ακρότατα, άρα είναι μοναδικά. (αυτό το βρίσκω περιττό να διατυπωθεί)
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη, οπότε απο θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής η συνάρτηση θα πάρει μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη. Εφ'όσον ισχύει , έχει προφανώς ολικό ελάχιστο στο αριστερό άκρο και ολικό μέγιστο στο δεξί.
δηλαδή είναι γνησίως αύξουσα.
Συμπλήρωση κατανόησης,αν είναι απλώς μονότονη τότε υπάρχουν τέτοια ώστε
Οπότε απο το θεώρημα Rolle υπάρχει τέτοιο ώστε , άτοπο.
Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα. Γιατί;; Πως προκύπτει το " γνησίως αύξουσα";;
(*)Ερώτηση προς βαθμολογητές πανελληνίων. Αν διαβάσετε συνεχής και "1-1", άρα γνησίως μονότοτονη, περιμένετε κάτι ακόμα ή είναι αρκετό;
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
-
- Δημοσιεύσεις: 85
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 24, 2015 8:49 am
Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ'ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΑ ΥΛΗ)
Αν αλλάζει η μονοτονία της συνάρτησης σε εσωτερικό σημείο του διαστήματος,
πρέπει να έχουμε τοπικό ακρότατο . Αυτό το καλύψαμε.
Άρα είναι μονότονη.
Είναι γνησίως μονότονη, το καλύψαμε και αυτό με το Rolle (με μια πιο "ελεύθερη" διατύπωση, ώστε να μην είναι πλήρως μασημένη τροφή)
Μάλιστα, θεωρώ ότι ήδη γράφω πολλά, αφού απο το σχόλιο στην σελίδα 261 τα μοναδικά κρίσιμα σημεία της δοσμένης
είναι τα άκρα του διαστήματος. Απο το σχόλιο στην σελίδα 264 δεν χρειάζεται να ξαναναφέρω το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Να ζητάμε απόδειξη ότι παραγωγίσιμη συνάρτηση χωρίς εσωτερικά κρίσιμα σημεία -για την οποία προκύπτει εύκολα ότι είναι "1-1"- πως είναι γνησίως μονότονη,
μάλλον είναι πλεονασμός.
Η παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο (της δοσμένης συνάρτησης πάντα)
Έχουμε απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
Έστω ότι υπάρχει με
τότε ξανά απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Τότε για κάποιο στο (δεν έχει σημασία η διάταξη) η παράγωγος δεν διατηρεί πρόσημο.
απο το θεώρημα σελ.262 σε κάποιο η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.
Καθώς είναι παραγωγίσιμη παντού, για αυτό το θα μηδενίστεί η παράγωγος, άτοπο.
πρέπει να έχουμε τοπικό ακρότατο . Αυτό το καλύψαμε.
Άρα είναι μονότονη.
Είναι γνησίως μονότονη, το καλύψαμε και αυτό με το Rolle (με μια πιο "ελεύθερη" διατύπωση, ώστε να μην είναι πλήρως μασημένη τροφή)
Εφόσον μεrek2 έγραψε: Γιατί;; Πως προκύπτει το " γνησίως αύξουσα";;
Μάλιστα, θεωρώ ότι ήδη γράφω πολλά, αφού απο το σχόλιο στην σελίδα 261 τα μοναδικά κρίσιμα σημεία της δοσμένης
είναι τα άκρα του διαστήματος. Απο το σχόλιο στην σελίδα 264 δεν χρειάζεται να ξαναναφέρω το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.
Να ζητάμε απόδειξη ότι παραγωγίσιμη συνάρτηση χωρίς εσωτερικά κρίσιμα σημεία -για την οποία προκύπτει εύκολα ότι είναι "1-1"- πως είναι γνησίως μονότονη,
μάλλον είναι πλεονασμός.
Η παράγωγος διατηρεί σταθερό πρόσημο (της δοσμένης συνάρτησης πάντα)
Έχουμε απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει τέτοιο ώστε:
Έστω ότι υπάρχει με
τότε ξανά απο Θ.Μ.Τ. ότι υπάρχει τέτοιο ώστε
Τότε για κάποιο στο (δεν έχει σημασία η διάταξη) η παράγωγος δεν διατηρεί πρόσημο.
απο το θεώρημα σελ.262 σε κάποιο η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο.
Καθώς είναι παραγωγίσιμη παντού, για αυτό το θα μηδενίστεί η παράγωγος, άτοπο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες