Εξίσωση με βάση το...8

maiksoul · #1

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ !

Να λυθεί η εξίσωση :

$\left | \sqrt{2x+3} +\sqrt{3x+16}-8\right |+1=\left | \sqrt{x^{2}+5x+1}+x-8 \right |+e^{\left | x-3 \right |}$

#2

Η άσκηση λύνεται χωρίς χρήση ύλης της Γ' Λυκείου. Ισχύει $\displaystyle{e^{|x-3|}\geq 1}$ με την ισότητα μόνο αν $\displaystyle{x=3.}$

Αν λοιπόν $\displaystyle{x}$ είναι λύση της εξίσωσης

προκύπτει

$\displaystyle{|\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+16}-8|\geq |\sqrt{x^2+15x+1}+x-8|.}$

Όμως ισχύει $\displaystyle{|\sqrt{x^2+15x+1}+x-8|\geq |\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+16}-8|}$ ( $\displaystyle{\color{red}\maltese}$ )

και επομένως πρέπει στα ενδιάμεσα βήματα να ισχύει ισότητα, άρα $\displaystyle{x=3.}$ Το $\displaystyle{3}$ είναι όντως λύση της εξίσωσης, άρα η μοναδική της λύση.

Αποδεικνύουμε τώρα την ( $\displaystyle{\color{red}\maltese}$ ).

Είναι

$\displaystyle{\left | \sqrt{x^2+5x+1}+x-8 \right |=\left | \sqrt{x^2+5x+1}-5+x-3 \right |=\left | \frac{(x-3)(x+8)}{\sqrt{x^2+5x+1}+5}+x-3 \right |=}$

$\displaystyle{=|x-3|\left | \frac{x+8}{\sqrt{x^2+5x+1}+5}+1 \right |}$

και

$\displaystyle{|\sqrt{2x+3}+\sqrt{3x+16}-8|=|\sqrt{2x+3}-3+\sqrt{3x+16}-5|=\left | \frac{2(x-3)}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{3(x-3)}{\sqrt{3x+16}+5} \right |=}$

$\displaystyle{=|x-3|\left | \frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+16}+5} \right |.}$

Απομένει να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\left | \frac{x+8}{\sqrt{x^2+5x+1}+5}+1 \right |\geq \left | \frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+16}+5} \right |}$ .

Μάλιστα στο πεδίο ορισμού της αρχικής εξίσωσης, οι παραστάσεις εντός των απολύτων είναι θετικές, οπότε θα αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\frac{x+8}{\sqrt{x^2+5x+1}+5}+1\geq \frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+16}+5}.}$ .

Αυτό ισχύει, αφού

$\displaystyle{\frac{x+8}{\sqrt{x^2+5x+1}+5}+1>1> \frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{3}{\sqrt{3x+16}+5}}$ .

Η αριστερή είναι πολύ απλή. Για τη δεξιά ας παρατηρήσουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα (ας την πούμε $\displaystyle{f}$ ), οπότε

$\displaystyle{x>-1\implies f(x)<f(-1)=\frac{1}{2}+\frac{3}{5+\sqrt{13}}<1.}$

Εξίσωση με βάση το...8

Εξίσωση με βάση το...8

Re: Εξίσωση με βάση το...8

Μέλη σε σύνδεση