Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Maria1508 · #1

Βρήκα την ακόλουθη άσκηση στο φυλλάδιο ενός σχολείου.
Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Δίνεται συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με g(g(x)+1)=x+2

, $x\epsilon \mathbb{R}$ . Αν η

διέρχεται από το σημείο Α(4,-1), να δείξετε ότι το 3 ανήκει στο σύνολο τιμών της

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Maria1508 έγραψε:Βρήκα την ακόλουθη άσκηση στο φυλλάδιο ενός σχολείου.
Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Δίνεται συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με , $x\epsilon \mathbb{R}$ . Αν η διέρχεται από το σημείο Α(4,-1), να δείξετε ότι το 3 ανήκει στο σύνολο τιμών της .

Γεια σου Μαρία.Δεν είναι λάθος η εκφώνηση. Παραπλανητική θα την έλεγα.
Αν βάλουμε x=1

η σχέση γίνεται
g(g(1)+1)=3

και τελειώσαμε.
Το ότι η $C_{g}$ διέρχεται από κάποιο σημείο είναι άσχετο.
Και για να καταλάβεις καλύτερα απέδειξε:
Αν $f,g :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συναρτήσεις ώστε
g(f(x))=x+a

τότε $g(\mathbb{R})=\mathbb{R}$

#3

Maria1508 έγραψε: Δίνεται συνάρτηση $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με , $x\epsilon \mathbb{R}$ . Αν η διέρχεται από το σημείο Α(4,-1), να δείξετε ότι το 3 ανήκει στο σύνολο τιμών της .

Η άσκηση είναι σωστή. Μάλιστα είναι ΠΑΡΑ, μα ΠΑΡΑ πολύ απλή. Πρέπει να μπορείς να την λύσεις με δύο-τρεις λέξεις όλες και όλες.

Ως υπόδειξη θα δώσω μόνο το εξής: Για το ζητούμενο δεν θα χρειαστείς αυτά που σημείωσα με κόκκινο.

Καλή τύχη.

Edit: Με πρόλαβε ο Σταύρος. Το αφήνω.

Maria1508 · #4

Ευχαριστώ πολύ !!

Να τολμήσω να ζητήσω βοήθεια για μία ακόμη άσκηση;

Δίνεται $f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$ με 2f(x)+f(-x) = ln((1-x) - ln(1+x)

με $x\epsilon (-1,1)$ . Να λύσετε την ανίσωση $epsilon^x>\frac{1-x}{1+x}$

Έδειξα ότι η

είναι περιττή, γνησ. φθίνουσα και η τελική ανίσωση ότι ισοδυναμεί με x>f(x)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Αν με $epsilon^{x}$ εννοείς $e^{x}$
τότε η υπόθεση δεν χρειάζεται.
Εχεις να λύσεις την ανίσωση $e^{x}> \frac{1-x}{1+x}$
Θεώρησε κατάλληλη συνάρτηση βρες μονοτονία ρίζες κλπ.
Αν δε τα καταφέρεις(αν και είμαι σίγουρος ότι θα τα καταφέρεις) εδώ είμαστε.

#6

Maria1508 έγραψε: Δίνεται $f:(-1,1)\rightarrow \mathbb{R}$ με με $x\epsilon (-1,1)$ . Να λύσετε την ανίσωση $epsilon^x>\frac{1-x}{1+x}$

Προφανώς δεν μεταφέρεις σωστά την εκφώνηση.

Η ανίσωση που γράφεις δεν έχει μέσα της το

, οπότε τι δουλειά έχει η συναρτησιακή σχέση με την

Maria1508 έγραψε:Έδειξα ότι η είναι περιττή, γνησ. φθίνουσα

Μπορείς πολύ καλύτερα! Απλούστατα μπορείς να βρεις ακριβώς ποια είναι η

.

Maria1508 · #7

Ναι, βρήκα ποια είναι η συνάρτηση : f(x)=ln((1-x)-ln(1+x))

κι έτσι η ανίσωση πήρε την ισοδύναμη μορφή x>f(x)

.

Επίσης δεν μπορώ να κάνω ακόμη χρήση παραγώγων κτλ. γιατί δεν τα έχει διδαχθεί ο μαθητής

Σκέφτηκα το εξής:

Αφού

περιττή θα είναι f(0)=0

και άρα αρκεί f(0)-0 >f(x)-x

. Έτσι θεωρώ τη συνάρτηση k(x)=f(x)-x

που αποδεικνύεται ότι είναι γνησ. φθίνουσα οπότε η ανίσωση k(0)>k(x)

δίνει χ>0.
Όλα αυτά βέβαια με την προυπόθεση ότι -1<χ<1.
Ωστόσο, και όταν χ<-1 ή χ>=1 η ανίσωση επαληθεύεται
Άρα τελικά η ανίσωση ισχύει για κάθε χ<-1 ή χ>0.

Συμφωνείτε;

#8

Μάλλον δεν κατανόησες το προηγούμενό μου μήνυμα γι' αυτό κάνεις τα εύκολα δύσκολα.

Maria1508 έγραψε: η ανίσωση πήρε την ισοδύναμη μορφή .

Δεν υπάρχει ΚΑΝΕΝΑΣ λόγος να μπλέκεις την

αφού η προς επίλυση ανίσωση δεν έχει

στην μορφή της.

Maria1508 έγραψε: Συμφωνείτε;

Όχι, για πολλούς λόγους.

Θα δώσω μόνο υπόδειξη γιατί η άσκηση είναι απλή.

Ας εργαστούμε πρώτα στο (-1,1)

που είναι η "δύσκολη" περίπτωση. Η μεν e^x

είναι γνήσια αύξουσα η δε $\frac {1-x}{1+x}$ γνήσια φθίνουσα (δεν χρειάζεται παραγώγους αυτό). Τώρα, οι δύο αυτές τέμνονται στο x=0

, οπότε...

Και λοιπά.

Maria1508 · #9

Σας ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας.

Ωστόσο, υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση που δίνω;

Γιώργος Απόκης · #10

Mια γεωμετρική παρουσίαση των παραπάνω

: 1234.png (13.18 KiB) Προβλήθηκε 2026 φορές

Maria1508 · #11

Η γραφική επίλυση της ανίσωσης δίνει ίδιο αποτέλεσμα χ<-1 ή χ>0

Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Re: Μήπως είναι λάθος η εκφώνηση;

Μέλη σε σύνδεση