Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

nikos18 · #1

Ορμώμενος από μία άσκηση ενός Βοηθήματος θα ήθελα να ρωτήσω το εξής:

Όταν ισχύει lim|f(x)|=0

για $x\rightarrow 0$ (αλλά δεν γνωρίζω αν υπάρχει το όριο της f(x)

στο μηδέν), προκειμένου να υπολογίσω το όριο της f(x)

για $x\rightarrow 0$ είναι απαραίτητο να κάνω κριτήριο παρεμβολής (με $-|f(x)|\leqslant f(x)\leqslant |f(x)|$ );

Είναι λάθος να συμπεράνω άμεσα ότι το όριο της f(x)

στο μηδέν είναι μηδέν; Υπάρχει κάποιο αντιπαράδειγμα;

Σας ευχαριστώ

nikos18 · #2

Είναι βέβαιο ότι όταν ισχύει lim|f(x)|=m

για $x\rightarrow xo$ , δε συναπάγεται ότι υπάρχει το όριο της f(x)

για $x\rightarrow xo$ !!
Επισυνάπτω ένα γραφικό αντιπαράδειγμα

Όμως στην περίπτωση του μηδενικού ορίου;
Σας ευχαριστώ

dement · #3

Κοίτα τον ορισμό του μηδενικού ορίου και θυμήσου ότι $\left| |x| \right| = |x| \ \forall x \in \mathbb{R}$ .

Christos.N · #4

Λήμμα

Αν $lim_{x \to x_0}|f(x)|=0$ τότε $lim_{x \to x_0}f(x)=0$ .

Απόδειξη

Επειδή $-|f(x)| \le f(x) \leq |f(x)|$ και γνωρίζουμε ότι το $lim_{x \to x_0}|f(x)|=0$ , συμπαιρένουμε από το κριτήριο παρεμβολής ότι και $lim_{x \to x_0}f(x)=0$

τότε κάθε φορά που βλέπουμε το $lim_{x \to x_0 }|f(x)| =0$ λόγω του λήμματος άμεσα έχουμε $lim_{x \to x_0 }f(x)=0$

Άσκηση

Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει το $lim_{x \to e}f(x)$ , τότε να βρεθεί αυτό αν ισχύει ότι : $lim_{x \to e}|2f(x)-x^2 lnx|=0$

nikos18 · #5

Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας !
To λήμμα που αναφέρετε δεν περιέχεται στο σχολικό ... άρα μπορεί να θεωρηθεί γνωστό ή πρέπει να αποδεικνύεται σε κάθε περίπτωση;

Christos.N · #6

Προφανώς το δεύτερο.

#7

Το λήμμα που ανέφερε ο Χρήστος, είχε τεθεί σαν ερώτηση "Σ-Λ" σε Πανελλήνιες, ή δεν θυμάμαι καλά;

apotin · #8

Υπάρχει πάντως στις ερωτήσεις κατανόησης σελ.84

Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Re: Μηδενικό όριο συνάρτησης !!!!

Μέλη σε σύνδεση