Spivak

[Παπαστεργίου Κώστας]

Μια συνεχής συνάρτηση δεν μπορεί να παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς δυο φορές.

Δώστε μια συνεχή συνάρτηση που να παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς τρεις φορές.

[Antonis Loutraris]

Καλησπέρα.

Είχε συζητηθεί παλαιότερα το συγκεκριμένο αποτέλεσμα στο σύνδεσμο:
viewtopic.php?f=61&t=50535&p=240935#p240935

[Tolaso J Kos]

Μια συνεχής συνάρτηση δεν μπορεί να παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς δυο φορές.

Δώστε μια συνεχή συνάρτηση που να παίρνει κάθε τιμή της ακριβώς τρεις φορές.

Μπράβο βρε Αντώνη... και με φαγε το ψάξιμο. Το χουμε δει και παλαιότερα πού όμως; Είχε δοθεί λύση από τον κ. Μιχάλη. Άντε να το βρεις όμως.

[Παπαστεργίου Κώστας]

Δε γνώριζα φυσικά ότι κάποια παραλλαγή του θέματος έχει τεθεί. Υπάρχει μια διαφορά όμως που θέλω να επισημάνω. Προσωπικά ήθελα κάποιος με κλειστά τα μάτια να φανταστεί και να κατασκευάσει μια συνάρτηση με ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε τιμή της. Στο προηγούμενο θέμα η συνάρτηση δόθηκε και είναι ομολογουμένως τόσο δύσκολη που πιστεύω ότι αυτός που την επινόησε πρέπει να είχε "μαθηματική διαστροφή". Όμως επειδή το θέμα μπορεί να επεκταθεί για ν=2κ+1 λύσεις σε κάθε τιμή, δεν ξέρω αν θα μπορούσε, μια κατά κάποιον τρόπο επέκταση αυτής της συναρτήσεως, να βοηθήσει και τι απόδειξη θα μπορούσε να αναμένει κανείς; Όταν είχα ασχοληθεί με το θέμα, μετά από αρκετή επιμονή, βρήκα συναρτήσεις εύκολες, συνεχείς μεν αλλά όχι υποχρεωτικά παραγωγίσιμες οι οποίες εξυπηρετούν και τη γενική περίπτωση. Βλέποντας το θέμα από αυτή την άποψη πιστεύω διατηρεί το ενδιαφέρον του.
ΠΚ

[Mihalis_Lambrou]

Προσωπικά ήθελα κάποιος με κλειστά τα μάτια να φανταστεί και να κατασκευάσει μια συνάρτηση με ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε τιμή της.

Το θέμα είναι χιλιοειπωμένο. Αναρτώ μία τέτοια συνάρτηση με λύσεις, από παλαιότερο ποστ (δεν το ψάχνω λόγω έλλειψης χρόνου). Εύκολα μπορεί κανείς να φτιάξει παραλλαγές με λύσεις.

Όταν είχα ασχοληθεί με το θέμα, μετά από αρκετή επιμονή, βρήκα συναρτήσεις εύκολες, συνεχείς μεν αλλά όχι υποχρεωτικά παραγωγίσιμες

Πολύ εύκολα μπορούμε να βρούμε άπειρα παραγωγίσιμες συναρτήσεις με την εν λόγω ιδιότητα. Απλά "στρογγυλεύουμε τις γωνίες" στο σχήμα που επισύναψα. Το αφήνω ως άμεσο.

.

[Παπαστεργίου Κώστας]

Ευχαριστώ κ Λάμπρου.

Όπως είπα δεν το γνώριζα και όταν είπα συναρτήσεις μη παραγωγίσιμες εννοούσα ότι δεν είναι ανάγκη να αναζητήσουμε συναρτήσεις περίπλοκες. Τέτοιες συναρτήσεις είχα σχεδιάσει και εγώ. Μάλιστα από όλες προτίμησα αυτή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και που τα τμήματά της τα μεν είναι παράλληλα της ψ=χ τα δε παράλληλα της ψ=-χ οπότε είναι εύκολο να εντοπισθούν τα διαστήματα και να κατασκευασθεί και ο αναλυτικός τύπος της. Φυσικά μπορούμε να λειάνουμε τις κορυφές και να δυσκολέψουμε τον αναλυτικό τύπο.

Και πάλι ευχαριστώ.
ΠΚ