Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Συντονιστές: m.pαpαgrigorakis, Καρδαμίτσης Σπύρος, Πρωτοπαπάς Λευτέρης, R BORIS, KAKABASBASILEIOS, Μπάμπης Στεργίου
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Η ανισότητα (για κάθε πραγματικό ) προτάθηκε χθες (Άσκηση 97) από τον Αντώνη Κυριακόπουλο στο Μαθηματικό Εργαστήρι (facebook)*: να δειχθεί ότι μπορεί να βελτιωθεί, με καθαρά σχολική μέθοδο, στην . (Θα δώσω εδώ την λύση μου αμέσως μετά την Πρωτομαγιά, αν δεν υπάρξει ως τότε λύση ή εδώ ή εκεί.)
*Έδωσε ήδη λύση -- με το -- ο Βαγγέλης Σταματιάδης. Όπως επισημαίνει ο Αντώνης, "μια παρόμοια λύση είχε δώσει και ο γνωστός μας (νομικός και εραστής των Μαθηματικών ) Γιώργος Ευαγγελόπουλος στο περιοδικό CRUX MATHEMATICORUM, Volume 14, σελίδα 294 ( 1988)".
*Έδωσε ήδη λύση -- με το -- ο Βαγγέλης Σταματιάδης. Όπως επισημαίνει ο Αντώνης, "μια παρόμοια λύση είχε δώσει και ο γνωστός μας (νομικός και εραστής των Μαθηματικών ) Γιώργος Ευαγγελόπουλος στο περιοδικό CRUX MATHEMATICORUM, Volume 14, σελίδα 294 ( 1988)".
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
με ελάχιστο το και παίρνει την τιμή , για .
Το ημίτονο είναι αύξον στο διάστημα . Τα παραπάνω μας περιορίζουν το διάστημα
που μας απασχολεί η ανισότητα στο . Ορίστε και σχήμα ....
Σχετικό ερώτημα : Βρείτε μια καλή προσέγγιση του
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Θέτω το πρόβλημα στην σωστή του βάση.
Υπάρχει ώστε για κάθε
να είναι .
Αντιμετώπιση
Εστω .
Είναι
Η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα έστω την
(μια εύκολη μελέτη είναι)
Ετσι και πρέπει το
να ικανοποιεί την
Δηλαδή
Προσεγγίζοντας το μπορούμε να βρούμε φράγματα για το
Υπάρχει ώστε για κάθε
να είναι .
Αντιμετώπιση
Εστω .
Είναι
Η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα έστω την
(μια εύκολη μελέτη είναι)
Ετσι και πρέπει το
να ικανοποιεί την
Δηλαδή
Προσεγγίζοντας το μπορούμε να βρούμε φράγματα για το
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Συνεχίζω τα προηγούμενα για να δείξω πως μπορούμε να πάρουμε φράγματα για το .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Θέτω το πρόβλημα στην σωστή του βάση.
Υπάρχει ώστε για κάθε
να είναι .
Αντιμετώπιση
Εστω .
Είναι
Η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα έστω την
(μια εύκολη μελέτη είναι)
Ετσι και πρέπει το
να ικανοποιεί την
Δηλαδή
Προσεγγίζοντας το μπορούμε να βρούμε φράγματα για το
Θέτουμε
Το
Η συνάρτηση είναι φθίνουσα ενώ
η είναι αύξουσα.
Ετσι αν τότε και βάσει των προηγουμένων
προκύπτει
ενώ αν προκύπτει ότι
Βρίσκοντας (το πρόβλημα είναι εκτίμηση του )
έχουμε άνω κάτω φράγματα για το .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Θανάση και Σταύρο σας ευχαριστώ για τις ιδέες σας. Στην δική μου προσέγγιση αποδεικνύω ότι το μπορεί να αντικατασταθεί από το
το οποίο είναι όντως κατά τι μικρότερο του -- με το χέρι αυτό ανάγεται στην ανισότητα
Λεπτομέρειες μετά την Πρωτομαγιά (αν δεν στείλει κάποιος κάτι άλλο).
το οποίο είναι όντως κατά τι μικρότερο του -- με το χέρι αυτό ανάγεται στην ανισότητα
Λεπτομέρειες μετά την Πρωτομαγιά (αν δεν στείλει κάποιος κάτι άλλο).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Απόδειξη της ... στο πνεύμα της απόδειξης που ανέβασε στο ΦΒ ο Βαγγέλης Σταματιάδης αλλά και των εδώ παρατηρήσεων Θανάση και Σταύρου:
Θέτοντας , παρατηρούμε ότι για την αρκεί να αποδειχθεί η για το τυχόν σημείο τοπικού ελαχίστου της . Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί η για . Από την προκύπτει η τριωνυμική ανισότητα , που οδηγεί, λόγω της , στην . Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί η για . Λόγω όμως των και η αποδεικτέα ανισότητα γίνεται , για πάντοτε.
Θέτοντας παρατηρούμε ότι , άρα η είναι φθίνουσα στο . Επειδή ισχύει η , συμπεραίνουμε ότι ισχύει η για . Ισχύει επομένως η , δηλαδή η . Όπως όμως επισήμανα στην προηγούμενη δημοσίευση, ισχύει οριακά, και αποδεικνύεται σχετικά εύκολα με το χέρι, και η
[Είναι το είδος της ανισότητας όπου δεν υπάρχει ακριβές φράγμα: ισχύει η , ισχύει, ακόμη καλύτερα, και η . Στην πραγματικότητα ισχύει και η , ενώ η επόμενη προσέγγιση, (μη σχολική), θα έδινε (κατά μη σχολικό τρόπο, μέσω επίλυσης εξίσωσης έκτου βαθμού). Στον αντίποδα, υπάρχει πιθανώς ευκολότερη απόδειξη της (δεν το έψαξα). Θεωρώ ότι ... από την στιγμή που είναι αποδεκτή ως δημοσιεύσιμη ανισότητα (και μάλιστα στο CRUX) η ... είναι αποδεκτή, και σαφώς ελκυστικότερη (ακόμη και λόγω λιγότερων δεκαδικών ψηφίων), και η -- αν μάλιστα ήμουν κριτής στο CRUX προ τριακονταετίας και μου είχαν στείλει το ... πιθανολογώ ότι θα το είχα κάνει ]
Θέτοντας , παρατηρούμε ότι για την αρκεί να αποδειχθεί η για το τυχόν σημείο τοπικού ελαχίστου της . Αρκεί δηλαδή να αποδειχθεί η για . Από την προκύπτει η τριωνυμική ανισότητα , που οδηγεί, λόγω της , στην . Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί η για . Λόγω όμως των και η αποδεικτέα ανισότητα γίνεται , για πάντοτε.
Θέτοντας παρατηρούμε ότι , άρα η είναι φθίνουσα στο . Επειδή ισχύει η , συμπεραίνουμε ότι ισχύει η για . Ισχύει επομένως η , δηλαδή η . Όπως όμως επισήμανα στην προηγούμενη δημοσίευση, ισχύει οριακά, και αποδεικνύεται σχετικά εύκολα με το χέρι, και η
[Είναι το είδος της ανισότητας όπου δεν υπάρχει ακριβές φράγμα: ισχύει η , ισχύει, ακόμη καλύτερα, και η . Στην πραγματικότητα ισχύει και η , ενώ η επόμενη προσέγγιση, (μη σχολική), θα έδινε (κατά μη σχολικό τρόπο, μέσω επίλυσης εξίσωσης έκτου βαθμού). Στον αντίποδα, υπάρχει πιθανώς ευκολότερη απόδειξη της (δεν το έψαξα). Θεωρώ ότι ... από την στιγμή που είναι αποδεκτή ως δημοσιεύσιμη ανισότητα (και μάλιστα στο CRUX) η ... είναι αποδεκτή, και σαφώς ελκυστικότερη (ακόμη και λόγω λιγότερων δεκαδικών ψηφίων), και η -- αν μάλιστα ήμουν κριτής στο CRUX προ τριακονταετίας και μου είχαν στείλει το ... πιθανολογώ ότι θα το είχα κάνει ]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ημιτριγωνομετρική με ιστορία
Ας αναφερθεί ότι το πρόβλημα αυτό υπάρχει και στον Μπαϊλάκη "Άλγεβρα Β' Λυκείου", σελ. 276, ο οποίος γράφει ότι η προέλευσή του είναι η Βουλγαρία, χωρίς περισσότερες λεπτομέρειες.
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες