Συναρτησιακή---------------->Bulletin

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y) = f(x^{2}-y)+4f(x)y$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Κώστας Παππέλης · #2

Να κάνω την αρχή: Θέτω y=x^2

και παίρνω μία σχέση. Για δείτε και την άλλη όταν y=-f(x)

Και μετά ακολουθούμε μια πολυσυζητημένη διαδικασία.

k-ser · #3

Για

$f\left(f(0)\right)=f(0)$ (1)
Για y=-f(x)

$f(0)=f\left(x^2+f(x)\right)-4f^2(x)$ (2)
Για x=0

στη (2) και από την (1) έχουμε: f(0)=0

.
Έτσι η (1) γίνεται: $f\left(x^2+f(x)\right)=4f^2(x)$ (3)
Για y=x^2

στην αρχική : $f\left(x^2+f(x)\right)=4x^2f(x)$ (4)
Από (3),(4) προκύπτει εύκολα: f(x)=0

ή

για κάθε πραγματικό αριθμό

.

Για

η αρχική δίνει: $f(-y)=f(y) \forall y \in \mathbb{R}$ .

Έστω ότι υπάρχουν $a,b \in \mathbb{R}^*$ τέτοια ώστε: f(a)=0,f(b)=b^2

.
Για

είναι $f(b)=f(a^2+b) \Rightarrow b^2=f(a^2+b)$ και εφόσον $b\ne 0$ θα πρέπει
$b^2=(a^2+b)^2\Rightarrow a^4+2a^2b=0$ (5)
Ομοίως για y=-b,x=a

και με δεδομένο ότι f(-b)=f(b)

.... $b^2=(a^2-b)^2\Rightarrow a^4-2a^2b=0$ (6).
Από τις (5),(6) προκύπτει το άτοπο a=0

.

Συνεπώς υπάρχουν μόνο δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν την
f(x)=0

ή

για κάθε πραγματικό αριθμό

.
η

για κάθε πραγματικό αριθμό

.
και η

για κάθε πραγματικό αριθμό

.

Οι δύο αυτές συναρτήσεις ικανοποιούν την αρχική συνθήκη και συνεπώς είναι οι ζητούμενες.

GVlachos · #4

Ένας άλλος τρόπος.
Έστω f(a)=f(b)

με $|a|\neq|b|$ .Παίρνουμε f(a^2-y)=f(b^2-y)

, άρα η

είναι περιοδική με περιοδο

.
Για

και

στην αρχική σχέση παίρνουμε $f\equiv0$ ,που είναι δεκτή, ή t=0

,που είναι άτοπο.
Αλλιώς έχουμε f(x)=f(y)

$\Longrightarrow$ |x|=|y|

.Για

,

$\Longrightarrow$ |f(x)|=x^2

.
Για

παίρνουμε

και με πράξεις παίρνουμε $f(x)\equiv x^2$ .

#5

Άλλη μια λύση (από τον Evan Chen):

http://artofproblemsolving.com/communit ... in_imo_tst

Συναρτησιακή---------------->Bulletin

Συναρτησιακή---------------->Bulletin

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή---------------->Bulletin

Re: Συναρτησιακή---------------->Bulletin

Μέλη σε σύνδεση