Όλα τα αθροίσματα άρρητοι

#1

Να βρεθεί το μέγιστο κ ώστε κάθε σύνολο 2009 αρρήτων να περιέχει κ άρρητους ώστε όλα τα $\binom{k}{2}$ αθροίσματα ανά ζεύγη να είναι άρρητοι.

#2

Ισχυρίζομαι ότι k = 1005

.

Για να δείξουμε ότι $k \leqslant 1005$ πρέπει να βρούμε 2009 άρρητους ώστε κάθε 1006 εξ' αυτών να περιέχουν δύο με ρητό άθροισμα. Η ιδέα είναι να πάρουμε 1005 φορές το $\sqrt{2}$ και 1004 το $-\sqrt{2}$ . Φυσικά επειδή πρέπει οι αριθμοί να είναι διαφορετικοί παίρνουμε τους $1+\sqrt{2},2-\sqrt{2},3+\sqrt{2},\ldots$

Μένει να δείξουμε ότι κάθε σύνολο 2009 αρρήτων περιέχει 1005 ώστε όλα τα ανά δύο αθροίσματα να είναι άρρητοι. Κατασκευάζουμε ένα γράφημα με κορυφές τους αριθμούς και ακμές μεταξύ των

και

αν και μόνο αν x+y

είναι ρητός. Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι το γράφημα περιέχει 1005 κορυφές χωρίς ακμές μεταξύ τους. Η βασική παρατήρηση είναι ότι το γράφημα δεν περιέχει περιττό κύκλο. Δηλαδή δεν υπάρχουν $x_1,x_2,\ldots,x_{2k+1}$ έτσι ώστε $x_1+x_2,x_2+x_3,\ldots,x_{2k+1}+x_1$ να είναι ρητοί. Πράγματι αν υπήρχαν τέτοια x_i

τότε ο $(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 - x_4) - \cdots + (x_{2k+1}+x_1) = 2x_1$ θα ήταν ρητός, άτοπο. Η απόδειξη τώρα συμπληρώνεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα που λέει ότι κάθε γράφημα χωρίς περιττό κύκλο είναι διμερές, δηλαδή μπορούμε να το χωρίσουμε σε δύο κομμάτια ώστε να μην υπάρχουν ακμές σε κάθε ένα από τα κομμάτια (αλλά μόνο μεταξύ τους). Αφού ένα από τα κομμάτια θα έχει τουλάχιστον 1005 κορυφές το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Μια υπόδειξη για την απόδειξη ότι κάθε γράφημα χωρίς περιττό κύκλο είναι διμερές είναι να υποθέσουμε ότι το γράφημα είναι συνεκτικό (μπορείς να κινηθείς από κάθε κορυφή σε κάθε άλλη κορυφή μέσω ακμών) να πάρουμε μια αυθαίρετη κορυφή

και να πάρουμε ως το πρώτο μέρος όλες τις κορυφές σε περιττή απόσταση από το

και ως το δεύτερο μέρος όλες τις κορυφές σε άρτια απόσταση από τα

.

Όλα τα αθροίσματα άρρητοι

Όλα τα αθροίσματα άρρητοι

Re: Όλα τα αθροίσματα άρρητοι

Μέλη σε σύνδεση