Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις...(1)

#1

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \math{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)f(y)+1=f(\frac{a}{x})f(\frac{a}{y})+f(xy), \forall x,y>0$ , όπου a >0

σταθερή.

Χρόνια πολλά

k-ser · #2

socrates έγραψε:Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \math{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)f(y)+1=f(\frac{a}{x})f(\frac{a}{y})+f(xy), \forall x,y>0$ , όπου σταθερή.

$\color{red}\displaystyle f(x)f(y)+1=f(\frac{a}{x})f(\frac{a}{y})+f(xy), \forall x,y>0$ $\color{red}(1)$

Για x=a,y=1

στην $\color{red}(1)$ .... f(a)=1

Για

στην $\color{red}(1)$ .... f(1)=1

ή

.

Αν

τότε για

στην $\color{red}(1)$ προκύπτει: $\displaystyle f(\frac{a}{x})=1, \forall x>0$ άρα

$\color{blue} f(x)=1, x>0$ .

Αν f(1)=0

τότε για

στην $\color{red}(1)$ προκύπτει: $\displaystyle f(\frac{a}{x})+f(x)=1, \forall x>0$ άρα
$\displaystyle f(\frac{a}{x})=1-f(x), \forall x>0$ και έτσι η $\color{red}(1)$ γίνεται:
$\color{red} f(xy)=f(x)+f(y), \forall x,y >0$ .
Για τη συνάρτηση $g(x)=f(a^x), x \in \mathbb{R}$ προκύπτει εύκολα ότι:
είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και ικανοποιεί την συναρτησιακή Caushy $g(x+y)=g(x)+g(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ .
Άρα υπάρχει

ώστε $g(x)=kx, \forall x \in \mathbb{R}$ . Όμως g(1)=1

, οπότε
$g(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ και για x=log_a y, y>0

προκύπτει:

$\color{blue}f(y)=log_a y, y>0$

Οι συναρτήσεις: $\color{blue} f(x)=1, x>0$ και $\color{blue}f(x)=log_a x, x>0$ ικανοποιούν την $\color{red}(1)$ και είναι οι ζητούμενες συναρτήσεις.

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις...(1)

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις...(1)

Re: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις...(1)

Μέλη σε σύνδεση