2 Ασκήσεις από το Οπερ Εδει Δειξαι

Eukleidis · #1

Από τις προκλήσεις του κ. Νίκου Ζανταρίδη Τεύχος 6

1. Να λυθεί στο R το συστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {3^x} + {4^x} = {5^x} \cdot y \hfill \\ {3^y} + {4^y} = {5^y} \cdot z \hfill \\ {3^z} + {4^z} = {5^z} \cdot x \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

2.Να λυθεί στο R το συστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {5^x} + {5^y} = 130 \hfill \\ {3^x} - {y^3} = 26 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

#2

Eukleidis έγραψε:Από τις προκλήσεις του κ. Νίκου Ζανταρίδη Τεύχος 6

1. Να λυθεί στο R το συστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {3^x} + {4^x} = {5^x} \cdot y \hfill \\ {3^y} + {4^y} = {5^y} \cdot z \hfill \\ {3^z} + {4^z} = {5^z} \cdot x \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

2.Να λυθεί στο R το συστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} {5^x} + {5^y} = 130 \hfill \\ {3^x} - {y^3} = 26 \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

Για το πρώτο :

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\left\{ \begin{gathered} \frac {3^x}{5^x} + \frac {4^x}{5^x} = y \hfill \\ \frac {3^y}{5^y} + \frac {4^y}{5^y} = z \hfill \\ \frac {3^z}{5^z} + \frac {4^z}{5^z} = x \hfill \\ \end{gathered} \right.}$

Αν $x \ge y$ , τότε $\left(\frac {3}{5}\right)^x+\left(\frac {4}{5}\right)^x \le \left(\frac {3}{5}\right)^y+\left(\frac {4}{5}\right)^y$

$\Rightarrow y \le z \Rightarrow\left(\frac {3}{5}\right)^y+\left(\frac {4}{5}\right)^y \ge \left(\frac {3}{5}\right)^z+\left(\frac {4}{5}\right)^z$

$\Rightarrow z \ge x \Rightarrow \left(\frac {3}{5}\right)^z+\left(\frac {4}{5}\right)^z \le \left(\frac {3}{5}\right)^x+\left(\frac {4}{5}\right)^x$

$\Rightarrow x \le y \Rightarrow x=y \Rightarrow x=y=z$

Αν $x \le y$ , τότε $\left(\frac {3}{5}\right)^x+\left(\frac {4}{5}\right)^x \ge \left(\frac {3}{5}\right)^y+\left(\frac {4}{5}\right)^y$

$\Rightarrow y \ge z \Rightarrow\left(\frac {3}{5}\right)^y+\left(\frac {4}{5}\right)^y \le \left(\frac {3}{5}\right)^z+\left(\frac {4}{5}\right)^z$

$\Rightarrow z \le x \Rightarrow \left(\frac {3}{5}\right)^z+\left(\frac {4}{5}\right)^z \ge \left(\frac {3}{5}\right)^x+\left(\frac {4}{5}\right)^x$

$\Rightarrow x \ge y \Rightarrow x=y \Rightarrow x=y=z$

Οπότε η πρώτη εξίσωση γράφεται $\left(\frac {3}{5}\right)^x+\left(\frac {4}{5}\right)^x=x$ (1)

Η συνάρτηση $f(x)=\left(\frac {3}{5}\right)^x+\left(\frac {4}{5}\right)^x, x \in \mathbb{R}$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα,

συνεπώς έχει μοναδικό σταθερό σημείο x_0

, το οποίο είναι η μοναδική λύση της (1), άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση

την (x,y,z)=(x_0,x_0,x_0)

Εύκολα βρίσκουμε ότι 0<x_0<2

#3

Για το δεύτερο:

Η δεύτερη από τις εξισώσεις γράφεται 3^x=26+y^3

(1)

Αν

, τότε $3^x=26+y^3>27 \Rightarrow 3^x>27 \Rightarrow x>3$

Οπότε 5^x+5^y>125+5=130

, άρα το σύστημα δεν έχει λύση με y>1

Ομοίως αποδεικνύεται ότι δεν έχει λύση με y<1

Άρα $y=1 \Rightarrow x=3$

2 Ασκήσεις από το Οπερ Εδει Δειξαι

2 Ασκήσεις από το Οπερ Εδει Δειξαι

Re: 2 Ασκήσεις από το Οπερ Εδει Δειξαι

Re: 2 Ασκήσεις από το Οπερ Εδει Δειξαι

Μέλη σε σύνδεση