Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

#1

Ας είναι $\displaystyle{ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο και τα ύψη του $\displaystyle{AD, BE, CF}$ , τα οποία τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{H}$ .

Αν ισχύει $\displaystyle{(AHF)=(BHD)=(CHE)}$ , να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο.

Με $\displaystyle{(...)}$ συμβολίζουμε το εμβαδόν τριγώνου.

#2

matha έγραψε:Ας είναι $\displaystyle{ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο και τα ύψη του $\displaystyle{AD, BE, CF}$ , τα οποία τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{H}$ .

Αν ισχύει $\displaystyle{(AHF)=(BHD)=(CHE)}$ , να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο.

Με $\displaystyle{(...)}$ συμβολίζουμε το εμβαδόν τριγώνου.

...

tasosty · #3

$\displaystyle{(AFH) = \frac{{(AF)(FH)}}{2}}$

$\displaystyle{FH = CF - CH = \frac{{2(ABC)}}{{AB}} - 2R\cos C = \frac{{2(2{R^2}\sin C\sin B\sin A)}}{{2R\sin C}} - 2R\cos C = 2R\sin B\sin A - 2R\cos (180 - (A + B)) = 2R\cos B\cos A}$

$\displaystyle{AF = CF\cot A = 2R\sin B\sin A\cot A = 2R\sin B\cos A}$

$\displaystyle{ \Rightarrow (AFH) = {R^2}{\cos ^2}(A)\sin (2B)}$

όμοια: $\displaystyle{\begin{array}{l} (BHD) = {R^2}{\cos ^2}(B)\sin (2C) \\ (CHE) = {R^2}{\cos ^2}(C)\sin (2B) \\ \end{array}}$
τώρα λογικά με την δοσμένη ισότητα και το γεγονός οτι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο θα βγαίνει ότι Α=Β=C άρα τελικά το ABC είναι ισόπλευρο...είναι αργα να το ελέγξω,νυστάζω!

Ανδρέας Πούλος · #4

Ο τρόπος της απόδειξής μου σχετίζεται με το γνωστό λήμμα:
" Ο λόγος των εμβαδών δύο τριγώνων ίσα ύψη ισούται με το λόγο των αντίστοιχων βάσεων".

Τα τρίγωνα BHD και HDC έχουν κοινό ύψος το HD, συνεπώς: $\frac{(BHD)}{(HDC)} = \frac{BD}{DC}$ (1).

Τα τρίγωνα ABD και ADC έχουν κοινό ύψος το AD, συνεπώς:
$\frac{(AFH)+(BFH)+(BHD)}{(AHE)+(EHC)+(HDC)} = \frac{BD}{DC}$ (2).

Από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει $\frac{(BHD)}{(HDC)} = \frac{(AFH)+(BFH)+(BHD)}{(AHE)+(EHC)+(HDC)}=\frac{(AFH)+(BFH)}{(AHE)+(EHC)}$ .
Η τελευταία σχέση προκύπτει από ιδιότητα αναλογιών.

Με όμοιο τρόπο προκύπτουν άλλες δύο χρήσιμες - για το θέμα μας - αναλογίες.
Για λόγους συντομίας ονομάζω
(AFH) = (BHD) = (EHC) = x,
(FHB) = a
(AHE) = b
(HDC) = c.

Έτσι, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:
x(x+a) = b(x+c)
x(x+b) = c(x+a)
x(x+c) = a(x+b).

Το σύστημα αυτό είναι αυτό που πρότεινα στην θέση
viewtopic.php?f=50&t=12910
και για την επίλυσή του, προέκυψε ένας εξαιρετικά γόνιμος και ενδιαφέρον διάλογος.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

mathfinder · #5

Μία λύση

Μπορούμε να θεωρήσουμε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών , το εμβαδό του τριγώνου ΑΗF , δηλαδή (AHF)=(BHD)=(CEH) =1 και έστω (AEH)=x , (CHD)=y , (BHF)=z .
Τα τρίγωνα CHD και DHB έχουν κοινό ύψος , άρα
$\displaystyle{\frac{{\left( {CHD} \right)}}{{\left( {BHD} \right)}} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow \frac{y}{1} = \frac{{CD}}{{BD}}}$

Επίσης για τον ίδιο λόγο $\displaystyle{\frac{{\left( {CAD} \right)}}{{\left( {BAD} \right)}} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{x + y + 1}}{{2 + z}} = \frac{{CD}}{{BD}}}$
οπότε είναι $\displaystyle{\frac{{x + y + 1}}{{2 + z}} = \frac{y}{1}}$
δηλ. $\displaystyle{x + y + 1 = 2y + yz \Rightarrow y = \frac{{x + 1}}{{z + 1}}}$
(1)
Ομοίως καταλήγουμε στις εξισώσεις $\displaystyle{x = \frac{{z + 1}}{{y + 1}}}$
(2) και $\displaystyle{z = \frac{{y + 1}}{{x + 1}}}$ (3) .
Για να λύσουμε το σύστημα των (1), (2) ,(3) μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $\displaystyle{z \le y \le x}$ . Πολλαπλασιάζοντας τις (1), (2) ,(3) κατά μέλη έχουμε $\displaystyle{xyz = 1}$ (4) . Οπότε πρέπει $\displaystyle{x \ge 1}$ .
Αλλά $\displaystyle{z \le y \Rightarrow 1 + z \le 1 + y \Rightarrow \frac{{1 + z}}{{1 + y}} \le 1 \Rightarrow x \le 1}$ . Οπότε είναι x=1 .
Άρα και $\displaystyle{\frac{{z + 1}}{{y + 1}} = 1 \Rightarrow y = z}$ , άρα από την (4) : y=z=1 .
Οπότε στο ABC τα ύψη είναι και διάμεσοι , άρα είναι ισόπλευρο .

Αθ. Μπεληγιάννης

Ανδρέας Πούλος · #6

Θανάση,
η τεχνική σου φαίνεται να λειτουργεί μιά χαρά.
Συνεπώς, δεν χρειάζεται να επιλύσουμε το σύστημα που έθεσα για λύση.
Απλά, ήταν ένα ενδιαφέρον θέμα από ότι δείχνει ο διάλογος που αναπτύχθηκε.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Re: Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Re: Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Re: Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Re: Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Re: Οξυγώνιο τρίγωνο και εμβαδά!

Μέλη σε σύνδεση