Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

vasilis_pap · #1

Ένα πολύ όμορφο πρόβλημα που με βασανίζει: Έστω ότι το τρίγωνο με κορυφές τα ίχνη των διχοτόμων ενός
τριγώνου είναι ισοσκελές. Είναι ισοσκελές και το μεγάλο τρίγωνο; Αν ναι, υπό ποια συνθήκη;

dement · #2

Βασιλη, αν δεν εχω κανει λαθος στις πραξεις, η απαντηση ειναι θετικη. Εστω K, L, M

τα ιχνη των διχοτομων που αντιστοιχουν στις κορυφες A, B, C

. Τοτε εχουμε, π.χ., $\displaystyle BK = \frac{ac}{b+a}$ και $\displaystyle BM = \frac{ac}{b + c}$ καθως επισης και $\displaystyle \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ . Με νομο συνημιτονων εκφραζουμε ετσι τις πλευρες του μικρου τριγωνου ως συναρτηση των πλευρων του μεγαλου.

Θετοντας KL = KM

καταληγουμε, μετα απο πραξεις, στην 2bc (c-b)(a+b+c)(a-b-c) = 0

απο οπου εχουμε c = b

.

Ολα αυτα αν δεν εχει γινει ζημια στις πραξεις βεβαια!

Δημητρης Σκουτερης

vasilis_pap · #3

dement έγραψε:Βασιλη, αν δεν εχω κανει λαθος στις πραξεις, η απαντηση ειναι θετικη. Εστω τα ιχνη των διχοτομων που αντιστοιχουν στις κορυφες . Τοτε εχουμε, π.χ., $\displaystyle BK = \frac{ac}{b+a}$ και $\displaystyle BM = \frac{ac}{b + c}$ καθως επισης και $\displaystyle \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ . Με νομο συνημιτονων εκφραζουμε ετσι τις πλευρες του μικρου τριγωνου ως συναρτηση των πλευρων του μεγαλου.

Θετοντας καταληγουμε, μετα απο πραξεις, στην απο οπου εχουμε .

Ολα αυτα αν δεν εχει γινει ζημια στις πραξεις βεβαια!

Δημητρης Σκουτερης

Καλησπέρα Κύριε Δημήτρη. Η απάντηση που έχω είναι ότι είναι ισοσκελές και το αρχικό τρίγωνο, εκτός από την περίπτωση που η $\hat{A}$ είναι αμβλεία με το συνημίτονό της στο διάστημα $\left(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4} \right)$ . Λόγω ταξιδιού και κάποιων εργασιών δεν έχω προλάβει να τη μελετήσω αναλυτικά. Θα το κάνω όμως με την πρώτη ευκαιρία. Από την απάντηση που σας έδωσα είμαι σίγουρος ότι θα με προλάβετε και θα παρουσιάσετε μια πολύ όμορφη λύση (τώρα μαθαίνω LaTex και παιδεύομαι).

teo · #4

Στο τευχος Μαρτιου-Απριλιου 2001 υπαρχει ενα αρθρο του περιφημου I. Sharygin με τιτλο : Πως γεννιεται ενα προβλημα. Στο προβλημα 15 αναφερει: Σε τριγωνο ABΓ, οι διχοτομοι των γωνιων ειναι οι ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ. Ειναι ισοσκελες το τριγωνο αν εχει ΔΕ=ΔΖ; Λεει πως η απαντηση ειναι ΑΡΝΗΤΙΚΗ. Δεν γνωριζω ομως πως αποδεικνυεται.

teo · #5

Με την ευκαιρια να ρωτησω: υπαρχει ΑΜΕΣΗ αποδειξη του θεωρηματος Steiner-Lehmus; Διαβασα τις 12 αποδειξεις απο το βιβλιο του Ι .ΠΑΝΑΚΗ: Το ισοσκελες τριγωνο, δεν βρηκα ομως αμεση αποδειξη. Κανω λαθος ;

vasilis_pap · #6

teo έγραψε:Στο τευχος Μαρτιου-Απριλιου 2001 υπαρχει ενα αρθρο του περιφημου I.Sharygin με τιτλο :Πως γεννιεται ενα προβλημα.Στο προβλημα 15 αναφερει:Σε τριγωνο ABΓ ,οι διχοτομοι των γωνιων ειναι οι ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ.Ειναι ισοσκελες το τριγωνο αν εχει ΔΕ=ΔΖ; Λεει πως η απαντηση ειναι ΑΡΝΗΤΙΚΗ.Δεν γνωριζω ομως πως αποδεικνυεται.

Η απάντηση είναι αρνητική γιατί δεν ισχύει πάντα, όπως έγραψα πιο πάνω. Θα προσπαθήσω με την πρώτη ευκαιρία
να ασχοληθώ με το πρόβλημα και να ανεβάσω λύση.

Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Re: Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Re: Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Re: Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Re: Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Re: Γύρω από το θεώρημα Steiner-Lehmus

Μέλη σε σύνδεση