Eύρεση συνάρτησης

erxmer · #1

Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις f(x) ώστε xf(x) - yf(y) = (x-y) f(x+y) για όλα τα x, y στο R.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

erxmer έγραψε:Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις f(x) ώστε xf(x) - yf(y) = (x-y) f(x+y) για όλα τα x, y στο R.

erxmer,έχεις τη λύση;

#3

Για

έχουμε $xf(x)+xf(-x)=2xf(0), \ (^*)$ .

Για y:=-y

είναι

που σε συνδυασμό με την αρχική και την (*) δίνει

(x+y)f(x-y)-(x-y)f(x+y)=2yf(0)

ή

.

Θέτουμε τώρα $x=\frac{a+b}{2}, y=\frac{a-b}{2}$ και g(x)=f(x)-f(0)

οπότε έχουμε

ag(b)=bg(a)

ή

$\displaystyle \frac{g(a)}{a}=\frac{g(b)}{b}, \ a,b \ne 0$ , δηλαδή η $\displaystyle \frac{g(x)}{x}$ σταθερή στο $\mathbb{R^*}$ .

Τελικά, f(x)=g(x)+f(0)=cx+f(0)

ή

(αφού ισχύει και για x=0).

erxmer · #4

Για λόγους πληρότητας δημοσιεύω μια λύση (στα αγγλικά).

Eύρεση συνάρτησης

Eύρεση συνάρτησης

Re: Eύρεση συνάρτησης

Re: Eύρεση συνάρτησης

Re: Eύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση