Στερεομετρία!!!!

S.E.Louridas · #1

Έστω τετράεδρο ΑΒΓΔ. Να συγκριθούν οι όγκοι των μερών στα οποία διαιρείται το ΑΒΓΔ, από επίπεδο διερχόμενο από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του ΑΒΓΔ.

S.E.Louridas

#2

Έστω ότι ο όγκος του τετραέδρου (ΑΒΓΔ) είναι V και το επίπεδο που διέρχεται από τα μέσα
Μ,Ν των ΒΓ και ΑΔ αντίστοιχα τέμνει την ακμή ΑΒ στο σημείο Τ.
Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο ΑΒΔ με διατέμνουσα την Ν,Λ,Τ:
$\frac{AN}{N\Delta }.\frac{\Delta \Lambda }{\Lambda B}.\frac{BT}{TA}=1\Rightarrow \frac{\Delta \Lambda }{\Lambda B}=\frac{TA}{TB} (1)$
Το ίδιο θεώρημα εφαρμόζουμε στο τρίγωνο ΑΒΓ με διατέμνουσα την Τ,Μ,Κ:
$\frac{AK}{K\Gamma }.\frac{\Gamma M}{MB}.\frac{BT}{TA}=1\Rightarrow \frac{AK}{K\Gamma }=\frac{TA}{BT}(2)$
Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\frac{AK}{K\Gamma }=\frac{\Delta \Lambda }{\Lambda B}\Rightarrow \frac{AK}{A\Gamma }=\frac{\Delta \Lambda }{\Delta B}(3)$
Επειδή η ΔΜ είναι διάμεσος της βάσης του τετραέδρου θα είναι:
$V(A.\Gamma \Delta M)=V(A.\Delta BM)=\frac{V}{2} (4)$
Επίσης επειδή τα τετράεδρα V(Α.ΚΜΝ) και V(Α.ΓΔΜ) εχουν κοινή τρίεδρη την Α θα είναι:
$\frac{V(A.KMN)}{V(A.\Gamma M\Delta }=\frac{AN.AM.AK}{A\Delta. AM.A\Gamma }\Rightarrow \frac{V(A.KMN)}{\frac{V}{2}}=\frac{AK}{2.A\Gamma }(5)$
Το ίδιο ισχύει και για το τετράεδρα V(Δ.ΜΝΛ) και V(Δ.ΑΒΜ):
$\frac{V(\Delta .MN\Lambda) }{V(\Delta .ABM)}=\frac{\Delta N.\Delta \Lambda .\Delta M}{\Delta B.\Delta M.\Delta A}\Rightarrow \frac{V(\Delta .MN\Lambda }{\frac{V}{2}}=\frac{\Delta \Lambda }{2.\Delta B}(6)$
Από τις (5) και (6) προκύπτει:
$V(A.MKN)=\frac{V}{4}.\frac{AK}{A\Gamma } (7)$
και
$V(\Delta .MN\Lambda )=\frac{V}{4}.\frac{\Delta \Lambda }{\Delta B}(8)$
Από την (8) υπολογίζεται:
$V(A.N\Lambda BM)=V(A.\Delta BM)-V(\Delta .MN\Lambda )=\frac{V}{2}-\frac{V}{4}.\frac{\Delta \Lambda }{\Delta B}(9)$
Προσθέτοντες κατά μέλη τις (7) και (9) και λαμβάνοντες υπόψη την (3) έχουμε:
$V(A.MKN)+V(A.N\Lambda BM)=\frac{V}{4}.\frac{AK}{A\Gamma }+\frac{V}{2}-\frac{V}{4}.\frac{\Delta \Lambda }{\Delta B}=\frac{V}{2}+\frac{V}{4}(\frac{AK}{A\Gamma }-\frac{\Delta \Lambda }{\Delta B})=\frac{V}{2}$
Δηλαδή:
$V(A.N\Lambda BMK)=\frac{V}{2}=V(\Delta .KM\Lambda N)$

Στερεομετρία!!!!

Στερεομετρία!!!!

Re: Στερεομετρία!!!!

Μέλη σε σύνδεση