Υπάρχει ακολουθία;

#1

Υπάρχει ακολουθία $\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}$ θετικών ακεραίων τέτοια ώστε $\displaystyle x_{n+1}=x_n+x_{x_{n-1}}, \ \forall n\geq 2$ ;

#2

socrates έγραψε:Υπάρχει ακολουθία $\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}$ θετικών ακεραίων τέτοια ώστε $\displaystyle x_{n+1}=x_n+x_{x_{n-1}}, \ \forall n\geq 2$ ;

Όχι, δεν υπάρχει.

Ας υποθέσουμε με απαγωγή σε άτοπο ότι τέτοια ακολουθία υπάρχει.

Τότε προφανώς θα είναι $x_{n+1}>x_n$ για κάθε n> 1

Είναι $x_3=x_2+x_{x_1}\geq 1+1=2$ , οπότε επαγωγικά δείχνουμε ότι

$x_{n+1}=x_n+x_{x_{n-1}}\geq (n-1)+1=n$

για κάθε $n\geq 1$ , οπότε

$x_{x_7}\geq x_7-1\geq 5$ (1)

Επίσης παρατηρούμε ότι x_n<n+2

για κάθε $n\geq 1$ . [Διαφορετικά, θα ήταν $x_{x_n}+x_{n+1}=x_{n+2}\leq x_{x_n}$ , άτοπο.]

Αλλά τότε

$x_{x_7}= x_9-x_8\leq 11-7=4$ ,

που αντιβαίνει στην (1), άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Υπάρχει ακολουθία;

Υπάρχει ακολουθία;

Re: Υπάρχει ακολουθία;

Μέλη σε σύνδεση