Συναρτησιακή

#1

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(3x-y)f(y) = 3f(x)

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$ .

#2

Είναι
$\displaystyle{f(y)f(3x-y)=3f(x),\forall x,y\in Z}$ [1]

Για $\displaystyle{x=y=0 \mathop\Rightarrow^{[1]}\lmits f(0)=0,3}$

αν $\displaystyle{f(0)=0 \mathop\Rightarrow^{[1]}\lmits f(0)f(3x-0)=3f(x)\Rightarrow f(x)=0 , \forall x\inZ}$

Aν $\displaystyle{f(0)=3}$
Τότε έστω οτι υπάρχει $\displaystyle{m\in Z:f(m)=0\Rightarrow f(m)f(3x-m)=3f(x) \Rightarrow f(x)=0 , \forall x\inZ}$

έστω τώρα ότι $\displaystyle{f(x)\ne 0, \forall x\inZ}$ τότε
$\displaystyle{f(x)f(3x-x)=3f(x)\Rightarrow f(2x)=3\Rightarrow }$ f(αρτίου)=3

Aκόμη $\displaystyle{f(2y)f(3.1-2y)=3f(1)\Rightarrow 3f(3-2y)=3f(1)\Rightarrow f(1+2(1-y))=f(1)}$ αλλά $\displaystyle{1+2(1-y)}$ είναι ο τυχόν περιττός οπότε f(περιττού)=f(1)

όμως $\displaystyle{f(5)f(3.2-5)=3f(2)\Rightarrow f(5)f(1)=9\Rightarrow f^2(1)=9\Rightarrow f(1)=\pm 3}$

υπάρχουν λοιπόν τρεις συναρτήσεις που και οι τρεις επαληθεύουν την αρχική και είναι
$\displaystyle{f(x)=0}$
$\displaystyle{f(x)=3}$
$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 3 & \text{ if } x= 2k \\ -3 & \text{ if } x= 2k+1 \end{cases}}$

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση