Συναρτησιακή στους ακέραιους

#1

Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοιες ώστε f(0)=2

και

για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$ .

ksofsa · #2

Για

είναι

.Για x=0, παίρνω f(f(2y))=2+f(2y) (1)

.
Με επαγωγή δείχνουμε ότι $f(2x)=2x+2, x\geq 1$ .Για x=1

,ισχύει.
Εστω ότι ισχύει για

.Τότε

,κι επομένως ισχύει και για x+1

.
Για

στην αρχική παίρνω f(-2y+2)=f(-4y)+f(2y) (2)

.
Για

στη σχέση (2) παίρνω $f(0)=f(-4)+f(2)\Rightarrow f(-4)=-2$ .
Για y=-2

στη σχέση (1) παίρνω $f(f(-4))=2+f(-4)\Rightarrow f(-2)=0$ .
Με ισχυρή επαγωγή θα δείξω ότι $f(-2x)=-2x+2,x\geq 1$ .
Για x=1,x=2

,ισχύει.
Εστω ότι ισχύει για κάθε ακέραιο

μικρότερο του

.Θα δείξω ότι ισχύει και για 2y+1,2y+2

.
Θα δείξω δηλαδή ότι f(-4y-2)=-4y,f(-4y-4)=-4y-2

.
Στη σχέση (2) θέτω όπου

το

και παίρνω $f(-2y)=f(-4y-4)+f(2y+2)\Rightarrow -2y+2=f(-4y-4)+2y+4\Rightarrow f(-4y-4)=-4y-2.$

Στη σχέση (1) θέτω όπου

το

και παίρνω $f(f(-4y-4))=f(-4y-4)+2\Rightarrow f(-4y-2)=-4y$ .

Τελικά σύμφωνα με τα παραπάνω είναι $f(2x)=2x+2,x\epsilon Z$ .
Συνεπώς η εξίσωση γράφεται f(x+f(x+2y))=2x+2y+4 (3)

.
Στη σχέση (3) για y=-x

παίρνω

.
Στη σχέση (3) για y=0

παίρνω

.
Εστω

ώστε

.Τότε λόγω της (5) θα είναι
$f(c+f(c))=2c+4\Rightarrow f(c+2)=2c+4\Rightarrow f(c+2)-c-2=c+2\Rightarrow f(f(c+2)-c-2)=f(c+2).$ .
Λόγω της (4) η τελευταία δίνει $f(c+2)=4\Rightarrow 2c+4=4\Rightarrow c=0$ .
Αρα ισχύει $f(c)=2\Rightarrow c=0$ .

Στη σχέση (3) για y=-x-1

παίρνω
$f(x+f(-x-2))=2\Rightarrow x+f(-x-2)=0\Rightarrow f(-x-2)=(-x-2)+2$ .

Επειδή το -x-2

μπορεί να πάρει όλες τις ακέραιες τιμές,έπεται ότι μοναδική λύση είναι η συνάρτηση f(x)=x+2

.
H επαλήθευση είναι εύκολη.

Χάνω πουθενά;

#3

Δείτε και στα:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1#p2212201
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=421417

Το πρόβλημα έχει τεθεί και σε διαγωνισμό στην Ουκρανία.

#4

Επίσης
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=471949

Συναρτησιακή στους ακέραιους

Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Re: Συναρτησιακή στους ακέραιους

Μέλη σε σύνδεση