Υπάρχει συνάρτηση;

#1

Υπάρχει συνάρτηση $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ τέτοια ώστε $f(f(n)-2n)=2f(n)+n \ \forall n \in \mathbb{Z}$ ;

GVlachos · #2

Γράφω τη λύση μου με μια επιφύλαξη.Αν μπορεί κάποιος ας την κοιτάξει.

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Θέτουμε g(n)=f(n)-2n

. Τότε η δοθείσα σχέση γίνεται g(g(n))=5n

.
Σε έναν ακέραιο

με

αντιστοιχίζουμε έναν ακέραιο

με

.Παίρνουμε έτσι ένα διατεταγμένο ζεύγος (m,p)

και δεν χρησιμοποιούμε τους m,p

σε άλλο ζεύγος.
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για τους υπόλοιπους αριθμούς που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει.
Τώρα θέτουμε $g(5^am)=5^{a+1}p$ και $g(5^{a}p)=5^{a}m$ , ορίζοντας έτσι την

και άρα και την

.

#3

Γιώργο, το μόνο που λείπει είναι ότι πράγματι μπορείς να χωρίσεις όλους τους ακεραίους που δεν διαιρούνται με το 5 σε ζεύγη (και να πεις τι γίνεται με το 0.) Ο πιο εύκολος τρόπος είναι να πάρεις τα ζεύγη $\{n,-n\}$ οπότε η συνάρτηση

γίνεται π.χ. $g(n) = \begin{cases} -n & n > 0 \\ -5n & n < 0 \\ 0 & n = 0\end{cases}$ και άρα η

γίνεται $f(n) = \begin{cases} n & n > 0 \\ -3n & n < 0 \\ 0 & n = 0\end{cases}$ . Ο έλεγχος ότι αυτή δουλεύει είναι εύκολος.

GVlachos · #4

Κύριε Δημήτρη σας ευχαριστώ που το κοιτάξατε.
Νομίζω ότι από τη σχέση g(g(n))=5n

μπορούμε να προσδιορίσουμε τη γενική μορφή των λύσεων(και γενικά από την $f^{(m)}(n)=kn$ στους ακεραίους). Θα το προσπαθήσω και αν βγαίνει θα το βάλω ως πρόβλημα.

#5

Ίδια κατασκευή κι εδώ:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=223534

sokratis lyras · #6

GVlachos έγραψε:Γράφω τη λύση μου με μια επιφύλαξη.Αν μπορεί κάποιος ας την κοιτάξει.

Υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Θέτουμε . Τότε η δοθείσα σχέση γίνεται .
Σε έναν ακέραιο με αντιστοιχίζουμε έναν ακέραιο με .Παίρνουμε έτσι ένα διατεταγμένο ζεύγος και δεν χρησιμοποιούμε τους σε άλλο ζεύγος.
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για τους υπόλοιπους αριθμούς που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει.
Τώρα θέτουμε $g(5^am)=5^{a+1}p$ και $g(5^{a}p)=5^{a}m$ , ορίζοντας έτσι την και άρα και την .

Δεν μπορώ να καταλάβω την λογική της παραπάνω λύσης.Η αλήθεια είναι ότι δεν έχω ξανασυναντήσει παρόμοια.Μπορεί να εξήγήσει κάποιος λίγο παραπάνω?

Υπάρχει συνάρτηση;

Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Μέλη σε σύνδεση