Ελάχιστη τιμή

kwstas12345 · #1

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

$f(x)=\sqrt{4x^{2}-28x+53}+\sqrt{x^{2}-6x+45}$

makisman · #2

άκυρο

chris · #3

Το ίδιο είναι και με μιγαδικούς.

Έστω οι μιγαδικοί z=2x-7+2i

και

.Τότε η

γίνεται:

$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x^{2}-28x+53}+\sqrt{x^{2}-6x+45}=\sqrt{(2x-7)^2+2^2}+\sqrt{(x-3)^2+6^2}=\left|z \right|+\left|w \right|\geq \left|z+w \right|=\left|3x-10+8i \right|=\sqrt{(3x-10)^{2}+8^{2}}$

Φιλικά Χρήστος

EDIT:Ευχαριστώ και τους δύο για την υπόδειξη του σωστού φράγματος.

#4

Λυπάμαι, αλλά και οι δύο λύσεις παραπάνω είναι λάθος. Πέσατε σε μία κλασική παγίδα.

Για την τιμή του $x=\frac{10}{3}$ που δίνει το ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle{\sqrt{(3X-10)^2+64}}$ δεν ισχύει η ισότητα στην τριγωνική που χρησιμοποιήθηκε νωρίτερα.

kwstas12345 · #5

Το ελάχιστο λαμβάνεται στη τελευταία άν θέσω όπου χ το 18/5.

ΕDIT:To πρώτο ριζικό μπορεί να θεωρηθεί το μήκος της υποτεινουσας ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓμε κάθετς πλευρές των οπίων τα μήκη είναι ΑΒ=2χ-7, ΑΓ=2

Όμοια το δεύτερο ριζικό είναι το μήκος της υποτελινουσας ορθογωνίου τριγώνου ΓΔΕ με πλευρέςΓΔ= χ-3 και ΔΕ=6.
Το άθροισμα των δύο αυτών ριζικών ελαχιστοποείται όταν τα Β,Γ,Ε είναι συνευθειακά.Όταν όμως είναι συνευθειακά τότε τα ΓΔΕ,ΑΒΓ είναι όμοια ....και από εκει προκύπτει η τιμή 18/5...z δεν ξερω που μπορεί να κρύβεται το λάθος στη λύση ...Καμια βοήθεια..???

hsiodos · #6

Καλό μεσημέρι

Μου άρεσε η αντιμετώπιση του Χρήστου (πιο πάνω) που οδηγεί στην τιμή x=18/5 =3,6. Αρχικά την θεώρησα σωστή βλέποντας ότι οδηγεί στη απάντηση που μας έδωσε ο Κώστας.
Πειραματιζόμενος με το Geogebra '' βλέπω" ότι το αποτέλεσμα δεν είναι σωστό . Πιθανώς αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι και τα δύο μέλη στην τριγωνική εξαρτώνται από το χ.

Το πρόγραμμα (επισυνάπτω το αρχείο) μου δίνει το ελάχιστο αν χ περίπου ίσο με 3,46. Μετακινώντας τον δρομέα βλέπουμε τις τιμές της f όταν χ ανήκει στο [3,4].

Γιώργος

: ελαχιστη τιμη.png (25.64 KiB) Προβλήθηκε 980 φορές

#7

Γιώργο συμφωνώ. Το ελάχιστο δεν λαμβάνεται για την τιμή x=18/5.
Επιφυλάσσομαι -έχω τους λόγους μου- για την απάντηση!

#8

kwstas12345 έγραψε:Το ελάχιστο λαμβάνεται στη τελευταία άν θέσω όπου χ το 18/5.

ΕDIT:To πρώτο ριζικό μπορεί να θεωρηθεί το μήκος της υποτεινουσας ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓμε κάθετς πλευρές των οπίων τα μήκη είναι ΑΒ=2χ-7, ΑΓ=2

Όμοια το δεύτερο ριζικό είναι το μήκος της υποτελινουσας ορθογωνίου τριγώνου ΓΔΕ με πλευρέςΓΔ= χ-3 και ΔΕ=6.
Το άθροισμα των δύο αυτών ριζικών ελαχιστοποείται όταν τα Β,Γ,Ε είναι συνευθειακά.Όταν όμως είναι συνευθειακά τότε τα ΓΔΕ,ΑΒΓ είναι όμοια ....και από εκει προκύπτει η τιμή 18/5...z δεν ξερω που μπορεί να κρύβεται το λάθος στη λύση ...Καμια βοήθεια..???

Εδώ: ....Το άθροισμα των δύο αυτών ριζικών ελαχιστοποείται όταν τα Β,Γ,Ε είναι συνευθειακά.....

makisman · #9

Η απάντηση της Mathematica

FindMinimum[√(4x^2-28x+53)+√(x^2-6x+45),x]

fmin = 8.0192 για x=3.46162

hsiodos · #10

kwstas12345 έγραψε:Το ελάχιστο λαμβάνεται στη τελευταία άν θέσω όπου χ το 18/5.

ΕDIT:To πρώτο ριζικό μπορεί να θεωρηθεί το μήκος της υποτεινουσας ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓμε κάθετς πλευρές των οπίων τα μήκη είναι ΑΒ=2χ-7, ΑΓ=2

Όμοια το δεύτερο ριζικό είναι το μήκος της υποτελινουσας ορθογωνίου τριγώνου ΓΔΕ με πλευρέςΓΔ= χ-3 και ΔΕ=6.
Το άθροισμα των δύο αυτών ριζικών ελαχιστοποείται όταν τα Β,Γ,Ε είναι συνευθειακά.Όταν όμως είναι συνευθειακά τότε τα ΓΔΕ,ΑΒΓ είναι όμοια ....και από εκει προκύπτει η τιμή 18/5...z δεν ξερω που μπορεί να κρύβεται το λάθος στη λύση ...Καμια βοήθεια..???

Αγαπητέ Κώστα

Όπως σου γράφω στο μήνυμα που σου έστειλα:

1. Σύμφωνα με την κατασκευή σου όφειλες να δώσεις τον περιορισμό $\displaystyle{x > 3,5}$ αφού το $\displaystyle{2x - 7}$ εκφράζει μήκος.

2. Τα μήκη των υποτεινουσών είναι συγκεκριμένα (για κάθε τιμή του χ) άρα και το άθροισμα τους οπότε δεν μας ενδιαφέρει αν τα σημεία που λες είναι συνευθειακά ή όχι.

3. $\displaystyle{f(x) = \sqrt {4x^2 - 28x + 53} + \sqrt {x^2 - 6x + 45} \,\,,\,x \in R}$ , $\displaystyle{f{'} (x) = \frac{{2(2x - 7)}}{{\sqrt {4x^2 - 28x + 53} }} + \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x^2 - 6x + 45} }}}$ και

$\displaystyle{ f{''} (x) = 16\left( {4x^2 - 28x + 53} \right)^{ - \,\frac{3}{2}} \,\,\,\, + \,\,\,36\left( {x^2 - 6x + 45} \right)^{ - \,\frac{3}{2}} \,\,\, > 0\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\,x \in R}$

Συμπεραίνουμε ότι η f ' έχει μοναδική ρίζα k στο (3 , 3.5) (εύκολα με Bolzano) . Βρίσκουμε (απλό) πως η f στο k παρουσιάζει ελάχιστο.

Γιώργος

ΥΓ. Φίλε Κώστα δεν χάθηκε ο κόσμος αν κάνουμε κάποιο λάθος ή αν δώσουμε μια άσκηση με λάθη στην εκφώνηση. Το πράγμα βέβαια αλλάζει όταν αυτό γίνεται κατά συρροή.

#11

Κώστα,

είναι παραλλαγή προβλήματος διαγωνισμού ή κάποιου άλλου προβλήματος;

Αν ναι, μπορείς να μας πεις την πηγή;

Ευχαριστώ,

Αχιλλέας

makisman · #12

με απλή παραγώγιση και μηδενισμό της f' και μερικές πραξούλες ,φτάνω στην εξίσωση $1 + \frac{36}{(x - 3)^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{(2 x - 7)^2}$

της οποίας η λύση δίνει τη ζητούμενη θεση ελαχίστου . Το θεμα είναι πως τη λύνεις αυτή ?

#13

makisman έγραψε:με απλή παραγώγιση και μηδενισμό της f' και μερικές πραξούλες ,φτάνω στην εξίσωση $1 + \frac{36}{(x - 3)^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{(2 x - 7)^2}$

της οποίας η λύση δίνει τη ζητούμενη θεση ελαχίστου . Το θεμα είναι πως τη λύνεις αυτή ?

Η παραπάνω εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες. Δεν είναι εύκολο να γραφούν ούτε ακόμα κι αν χρησιμοποιήσουμε ριζικά.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... 1/(2x-7)^2

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση