Τετράεδρο

[S.E.Louridas]

Ένα πρόβλημα από τον μαθητή Βασίλη Νεστορίδη μαθητή της Βαρβακείου Προτύπου Σχολής (νυν Καθηγητή Πανεπιστημίου Αθηνών).
« Να αποδειχθεί ότι σε κάθε τετράεδρο το άθροισμα των γινομένων των δύο ζευγών των απέναντι κειμένων ακμών είναι μεγαλύτερο του γινομένου των ακμών του τρίτου ζεύγους».

S.E.Louridas

[rek2]

Τσίμπησα, εχθές, διαβάζοντας το θέμα αυτό, γιατί, κατά πρώτον, το είδα σαν γενίκευση του Θεωρήματος του Πτολεμαίου σε στρεβλό τετράπλευρο και κατά δεύτερον το ανέβασε ο Σωτήρης!

Έστω το τετράεδρο Α.ΒΓΔ στο οποίο θα δείξουμε π.χ. ότι
(ΑΔ)(ΒΓ) + (ΑΓ)(ΒΔ) > (ΑΒ)(ΓΔ)
Στο επίπεδο του τριγώνου ΒΓΔ, και προς το μέρος της ΓΔ που δεν βρίσκεται το Β, παίρνουμε σημείο Α΄ τέτοιο ώστε Α΄Δ = ΑΔ και Α΄Γ = ΑΓ (τρίγωνο Α΄ΓΔ = τρίγωνο ΑΓΔ). Η ευθεία Α΄Β τέμνει την ΓΔ στο Ε. Είναι

(Α΄Δ)(ΒΓ) + (Α΄Γ)(ΒΔ) >= (Α΄Β)(ΓΔ) ή (ΑΔ)(ΒΓ) + (ΑΓ)(ΒΔ) >= (Α΄Β)(ΓΔ)

Αρκεί, επομένως, να αποδειχτεί Α΄Β > ΑΒ, που ισχύει, αφού Α΄Β = Α΄Ε +ΕΒ = Α Ε + ΕΒ > ΑΒ