Ανισότητα σε τρίγωνο.
Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Ανισότητα σε τρίγωνο.
Νομίζω πως έχω μια λύση. Aρχικά χρησιμοποιώντας τον δυικό μετασχηματισμό επειδή τότε και .
Οπότε αρκεί να αποδειχθεί μετά από ύψωση στο τετράγωνο αρκεί .
Από CS είναι . Ακόμη υποθέτουμε λόγω ομοιογένειας ότι . Από ΑΜ-ΓΜ .
Τελικά αρκεί . Θέτουμε οπότε αρκεί υπό τον περιορισμό .
H παραπάνω ανισότητα μπορεί να αποδειχθεί και για μιας και . Θεωρούμε την Λανγκαρασιανή .
Λύνουμε το σύστημα δηλαδή και απαλοίφωντας το λάμδα έχουμε
(για ευκολια βάζω στα γράμματα ) κάνοντας χιαστί ανα δύο έχουμε
.
Άν ισχυει μια εκ των και δύο από τις άλλες , έχουμε λύσεις της μορφής . Οι λύσεις αυτές όμως δίνουν ελάχιστο καθώς γενικότερα:
αφού και . Πχ άν πάρουμε και .
Βέβαια το ελάχιστο λαμβάνεται όταν μιας και είναι θετικοί αριθμοί. H παράσταση είναι μη αρνητική μιας και αυτό διαβεβαιώνεται με ενα απλό αριθμητικό παραδειγμα. H εξακρίβωση ότι το παραπάνω σημείο δίνει ελάχιστο γίνεται και με τις ελάσσονες ορίζουσες.
Οπότε αρκεί να αποδειχθεί μετά από ύψωση στο τετράγωνο αρκεί .
Από CS είναι . Ακόμη υποθέτουμε λόγω ομοιογένειας ότι . Από ΑΜ-ΓΜ .
Τελικά αρκεί . Θέτουμε οπότε αρκεί υπό τον περιορισμό .
H παραπάνω ανισότητα μπορεί να αποδειχθεί και για μιας και . Θεωρούμε την Λανγκαρασιανή .
Λύνουμε το σύστημα δηλαδή και απαλοίφωντας το λάμδα έχουμε
(για ευκολια βάζω στα γράμματα ) κάνοντας χιαστί ανα δύο έχουμε
.
Άν ισχυει μια εκ των και δύο από τις άλλες , έχουμε λύσεις της μορφής . Οι λύσεις αυτές όμως δίνουν ελάχιστο καθώς γενικότερα:
αφού και . Πχ άν πάρουμε και .
Βέβαια το ελάχιστο λαμβάνεται όταν μιας και είναι θετικοί αριθμοί. H παράσταση είναι μη αρνητική μιας και αυτό διαβεβαιώνεται με ενα απλό αριθμητικό παραδειγμα. H εξακρίβωση ότι το παραπάνω σημείο δίνει ελάχιστο γίνεται και με τις ελάσσονες ορίζουσες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες