Διάταξη μιγαδικών

christodoulou · #1

Το ότι στους μιγαδικούς δεν έχουμε διάταξη αποδεικνύεται ή έτσι ορίζεται;

#2

Αποδεικνύεται!
Δίοτι αν ήταν θα έπρεπε να υπάρχει ένα σύνολο

που να περιέχει το 1 αλλά και το $\mathrm{i}$ ή το $-\mathrm{i}$ . Tότε σε κάθε περίπτωση θα περιέχει και το

, άτοπο, αφού $P \cap (-P)=\emptyset$

Να θυμήσουμε ότι ένα σώμα $\mathbb{F}$ είναι διατεταγμένο αν υπάρχει σύνολο

τέτοιο ώστε

(i) $P \cap (-P)=\emptyset$ ,
(ii) $P \cup \{0\} \cup (-P)=\mathbb{F}$ (άρα $0_{\mathbb{F}} \not \in P$ )
(iii) Το άθροισμα και το γινόμενο στοιχείων του

ανήκουν στο

. (άρα $1_{\mathbb{F}}\in P$ ).

Το σύνολο

είναι το σύνολο των "θετικών" στοιχείων του $\mathbb{F}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Μπορεί να αποδειχθεί αν και βέβαια η απόδειξη είναι έξω από τα σχολικά πλαίσια.
'Ομως πρέπει πρώτα να ξεκαθαρίσουμε τι εννοούμε λέγοντας διάταξη. Δεν εννοούμε οποιαδήποτε διάταξη αλλά μία διάταξη που να είναι συμβιβαστή με τις πράξεις του $\mathbb{C}$ (το σχολικό βιβλίο στη σελίδα 87 λέει απλώς "εν τούτοις η διάταξη αι οι ιδιότητες της δεν μεταφέρονται") δηλαδή μία διάταξη που να κάνει το $\mathbb{C}$ διατεταγμένο σώμα. Αυτό σημαίνει ότι πρέπε να υπάρχει μια σχέση $\preceq$ που να είναι διάταξη (ανακλαστική, μεταβατική και αντισυμμετρική), να είναι γραμμική (ολική) διάταξη (:κάθε δύο στοιχεία να είναι συγκρίσιμα) και τέλος το γινόμενο και το άθροισμα δύο θετικών (ως προς την $\preceq$ ) στοιχείων να είναι επίσης θετικό.
Αποδεικνύεται τότε εύκολα ότι αν $\alpha \succ 0$ είναι $-\alpha \prec 0$ και ότι αν $\alpha \neq 0$ θα είναι $\alpha ^{2}\succ 0$ .
Σε αυτό ακριβώς το σημείο αποτυγχάνει το $\mathbb{C}$ να περάσει τις εξετάσεις για διατεταγμένα σώματα: Το 1 είνα θετικό και οφείλει και το $i^{2}=-1$ να είναι θετικό.
Αξίζει να σημειωθεί ότι άλλες διατάξεις μπορούμε να έχουμε στο $\mathbb{C}$ όπως λόγου χάρη την λεξικογραφική. Σε αυτήν το πραγματικό μέρος παίζει το ρόλο του επωνύμου και το φανταστικό του μικρού. Με αυτήν ας την πούμε $\preceq$ είναι
$\alpha +\beta i\prec \gamma +\delta i\Leftrightarrow \alpha \prec \gamma$ ή $\alpha =\gamma ,\,\ \ \beta \prec \delta$
Ομως με αυτή την σχέση το $\mathbb{C}$ διατάσσεται μεν ολικά αλλά όχι ως διατεταγμένο σώμα.
Μαυρογιάννης

ΥΓ 'Εγραφα και δεν είδα την απάντηση του Αχιλλέα. Δεν πειράζει.

christodoulou · #4

Θα μπορούσε να είναι απόδειξη η παρακάτω σκέψη;
Έστω ότι ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς αριθμούς.
Τότε θα είναι i=0

ή

.
- Αν

τότε $i^{2}=0$ Άτοπο.
- Αν i>0

τότε $i^{2}>0$ Άτοπο.
- Αν i<0

τότε $i^{2}>0$ Άτοπο.

#5

christodoulou έγραψε:Το ότι στους μιγαδικούς δεν έχουμε διάταξη αποδεικνύεται ή έτσι ορίζεται;

Σε κάθε σύνολο μπορούμε να βάλουμε διάταξη. Μια τέτοια στο $\mathbb C$ είναι η λεγόμενη "λεξικογραφική": (α, β) < (γ, δ) αν ο μιγαδικός (α, β) γράφεται πριν από τον (γ, δ) σε ένα λεξικό (όπου οι αριθμοί κρατούν τη φυσική τους διάταξη). Εννοώ
(α < γ) ή ( α = γ και β < δ).
Π.χ. (1, 1000) < (2, 1) < (2, 3)

Αυτό που πραγματικά ρωτάμε εδώ είναι αν υπάρχει διάταξη στο $\mathbb C$ η οποία είναι συμβατή με τις πράξεις.

Η απάντηση είναι όχι. Ένας γρήγορος τρόπος να το δούμε (είναι ο ίδιος με του Αχιλλέα, αλλά πιο λιανά διατυπωμένος) είναι ο εξής:

Ισχύει άραγε i > 0

; Αν ναι, τότε από την συμβατότητα των πράξεων θα είναι
- 1 = i^2 > 0

, άτοπο. Όμοια, αν i < 0

τότε

άρα

, άτοπο. Και στις δύο περιπτώσεις, άτοπο, άρα δεν υπάρχει διάταξη συμβατή με τις πράξεις.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Είδα τις απανήσεις των προλαλησάντων μετά που έστειλα το μήνυμα. Περιφέρεται στον ίδιο κύκλο ιδεών. Ας είναι.

Μάκης Χατζόπουλος · #6

christodoulou έγραψε:Θα μπορούσε να είναι απόδειξη η παρακάτω σκέψη;
Έστω ότι ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς αριθμούς.
Τότε θα είναι ή ή .
- Αν τότε $i^{2}=0$ Άτοπο.
- Αν τότε $i^{2}>0$ Άτοπο.
- Αν τότε $i^{2}>0$ Άτοπο.

Από τον νόμο της τριχοτομίας;; Αυτός ο νόμος δεν ισχύει μόνο για πραγματικούς αριθμούς;

#7

christodoulou έγραψε:Θα μπορούσε να είναι απόδειξη η παρακάτω σκέψη;
Έστω ότι ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς αριθμούς.
Τότε θα είναι ή ή .
- Αν τότε $i^{2}=0$ Άτοπο.
- Αν τότε $i^{2}>0$ Άτοπο.
- Αν τότε $i^{2}>0$ Άτοπο.

Και ναι και όχι.
Γιατί ναι: Χρησιμοποιούνται γνωστές ιδιότητες των ανισοτήτων.
Γιατί όχι: Γιατί τα σχολικά βιβλία δεν δίνουν μία σαφή περιγραφή των ιδιοτήτων της διάταξης. Δηλαδή τι είναι τέλος πάντων "η διάταξη αι οι ιδιότητες της". Στο σχολικό βιβλίο 'Αλγεβρας της Α΄ Λυκείου στις σελίδες 29-30 δίνει απλώς (και καλά κάνει) μία περιγραφή μερικών ιδιοτήτων. Αρα πρέπει να προηγηθεί ένας ορισμός του τι εννοούμε διάταξη και μετά να γίνει απόδειξη. Γιαυτό ανέφερα σε προηγούμενο μήνυμα μου ότι η "απόδειξη είναι έξω από τα σχολικά πλαίσια". Δεν είναι δύσκολη αλλά είναι "εκτός"
Ωστόσο η παραπάνω σκέψη δεν παύει να είναι ένα μία συνηγορία του γιατί το $\mathbb{C}$ δεν διατάσσεται.
Μαυρογιάννης

Α.Κυριακόπουλος · #8

christodoulou έγραψε:Το ότι στους μιγαδικούς δεν έχουμε διάταξη αποδεικνύεται ή έτσι ορίζεται;

Από το βιβλίο: «ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ», Α. Κυριακόπουλου και Χρυσταλλένης Κυβερνήτου, έκδοση 1986 ( έχει εξαντληθεί), σελίδα 11, παράγραφος
1.8. Παρατηρήσεις.
Το σώμα C των μιγαδικών αριθμών δεν είναι διατεταγμένο. Δηλαδή( βλέπε άσκηση λυμένη 27):
• Δεν υπάρχει μη κενό υποσύνολο Α του C με τις εξής δύο ιδιότητες:
( Ι ). Για κάθε $z \in C$ ισχύει μια, και μόνο μια, από τις τρεις σχέσεις: $z \in {\rm A},{\rm{ }}z = 0,{\rm{ }}( - z) \in {\rm A}$ .
( Ι Ι ). Για κάθε $z,\omega \in {\rm A}$ , ισχύουν: $(z + \omega ) \in {\rm A}$ και $(z\omega ) \in {\rm A}$ .
Έτσι, δεν υπάρχει στο C σχέση ολικής διατάξεως συμβιβαστεί με τους νόμους (ισότητα και πράξεις) του C. Με άλλα λόγια, στο C δεν ορίζονται ανισότητες.
Σχόλιο. Όπως επισημαίνουν και οι Νίκος Μαυρογιάννης και Μιχάλης Λάμπρου, άλλου είδους διατάξεις, που δεν αφορούν άμεσα τα μαθηματικά, μπορούν να ορισθούν στο C, όπως για παράδειγμα η λεξικoγραφική διάταξη.

parmenides51 · #9

Μια ενδιαφέρουσα σχετική συζήτηση έχει γίνει κι εδώ

Διάταξη μιγαδικών

Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Re: Διάταξη μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση