Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

thanasis kopadis · #1

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς

για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{(i^{2013}z-4-3i)(\bar{z}-3-4i)=4i}$ (1)

α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $\displaystyle{z}$ είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{ \left|z \right|}$
γ) Αν $\displaystyle{z_{1},z_{2}}$ δύο μιγαδικοί οι εικόνες των οποίων είναι αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω κύκλου, να δείξετε ότι
$\displaystyle{\left|z_{1}+z_{2} \right|-\left|z_{1}-z_{2} \right|=6}$
δ) Έστω $\displaystyle{z_{3}}$ μιγαδικός που ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{(1)}$ και $\displaystyle{w_{1},w_{2}}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{w^{2}+2(\left|z_{3} \right|-5)w+9=0}$
i) Να δείξετε ότι οι $\displaystyle{w_{1},w_{2}}$ δεν είναι πραγματικοί αριθμοί
ii) Να βρείτε τα $\displaystyle{\left|w_{1} \right|, \left|w_{2} \right|}$
iii) Να δείξετε ότι $\displaystyle{Re(\frac{w_{1}-3i}{w_{1}+3i})=0}$
iv) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{w_{1},w_{2}, w_{3}=\frac{3w_{1}-\bar{w_{2}}}{\frac{\bar{w_{1}}}{3}-w_{2}}}$ είναι ομοκυκλικά σημεία
ε) Έστω επιπλέον οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{u_{1},u_{2}}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{u_{1}=(5m-1)+(-10m-3)i}} , m\in\mathbb{R}$ και $\displaystyle{\left|u_{2}-1 \right|=Re(u_{2})+1}$
i) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $\displaystyle{u_{1}}$ είναι ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση, ενώ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $\displaystyle{u_{2}}$ είναι παραβολή. της οποίας να βρείτε την εστία.
ii) Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left|z-u_{1} \right|}$ και την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left|u_{1}-u_{2} \right|}$

Kατεβάστε την άσκηση, σε αρχείο pdf, στον παρακάτω σύνδεσμο:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2014/05/2014.html

#2

thanasis kopadis έγραψε:Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{(i^{2013}z-4-3i)(\bar{z}-3-4i)=4i}$
α) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $\displaystyle{z}$ είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα
β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{ \left|z \right|}$
γ) Αν $\displaystyle{z_{1},z_{2}}$ δύο μιγαδικοί οι εικόνες των οποίων είναι αντιδιαμετρικά σημεία του παραπάνω κύκλου, να δείξετε ότι
$\displaystyle{\left|z_{1}+z_{2} \right|-\left|z_{1}-z_{2} \right|=6}$
δ) Έστω $\displaystyle{z_{3}}$ μιγαδικός που ικανοποιεί τη σχέση $\displaystyle{(1)}$ και $\displaystyle{w_{1},w_{2}}$ οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{w^{2}+2(\left|z_{3} \right|-5)w+9=0}$
i) Να δείξετε ότι οι $\displaystyle{w_{1},w_{2}}$ δεν είναι πραγματικοί αριθμοί
ii) Να βρείτε τα $\displaystyle{\left|w_{1} \right|, \left|w_{2} \right|}$
iii) Να δείξετε ότι $\displaystyle{Re(\frac{w_{1}-3i}{w_{1}+3i})=0}$
iv) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{w_{1},w_{2}, w_{3}=\frac{3w_{1}-\bar{w_{2}}}{\frac{\bar{w_{1}}}{3}-w_{2}}}$ είναι ομοκυκλικά σημεία
ε) Έστω επιπλέον οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{u_{1},u_{2}}$ , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις
$\displaystyle{u_{1}=(5m-1)+(-10m-3)i}} , m\in\mathbb{R}$ και $\displaystyle{\left|u_{2}-1 \right|=Re(u_{2})+1}$
i) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $\displaystyle{u_{1}}$ είναι ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση, ενώ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του $\displaystyle{u_{2}}$ είναι παραβολή. της οποίας να βρείτε την εστία.
ii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left|z-u_{1} \right|}$ και την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{\left|u_{1}-u_{2} \right|}$

Kατεβάστε την άσκηση, σε αρχείο pdf, στον παρακάτω σύνδεσμο:http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2014/05/2014.html

Καλησπέρα Θανάση.

Πολύ ωραίο θέμα και διδακτικό!

α) Είναι $\displaystyle{{i^{2013}} = {i^{4 \cdot 503 + 1}} = i}$ . Η (1)

γράφεται:

$\displaystyle{\left( {iz - 4 - 3i} \right)\left( {\overline z - 3 - 4i} \right) = 4i \Leftrightarrow iz\overline z - 3i\left( {z + \overline z } \right) + 4\left( {z - \overline z } \right) + 21i = 0}$

Έστω z=x+yi

, τότε $\displaystyle{z\overline z = {x^2} + {y^2},z + \overline z = 2x,z - \overline z = 2yi}$ , οπότε η δοσμένη εξίσωση γίνεται:

$\displaystyle{{x^2} + {y^2} - 6x + 8y + 21 = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{(x-3)^2+(y+4)^2=2^2}$

Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το K(3, -4)

και ακτίνα r=2

.

β) Η μέγιστη τιμή του |z|

είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος OB=OK+r

και η ελάχιστη το μήκος του τμήματος OA=OK-r

.
$\displaystyle{OK = \sqrt {9 + 16} \Leftrightarrow OK = 5}$ .

Οπότε: $\boxed{max|z|=7, min|z|=3}$

: Θέμα Μιγαδικών.png (18.31 KiB) Προβλήθηκε 2320 φορές

γ) Έστω

δύο αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου.
Είναι |z_1-z_2|=(MN)=2r=4

, $\displaystyle{|{z_1} + {z_2}| = |\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} | = |2\overrightarrow {OK} | = 10}$

Άρα: $\boxed{z_1+z_2|-|z_1-z_2|=6}$

δ) i) Είναι $\displaystyle{\Delta = 4{\left( {|{z_3}| - 5} \right)^2} - 36 = 4\left( {|{z_3}| - 8} \right)\left( {|{z_3}| - 2} \right) < 0}$ , γιατί $\displaystyle{3 \le |{z_3}| \le 7}$ . Επομένως, η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

ii) Επειδή οι w_1,w_2

είναι συζυγείς, $\displaystyle{{w_1}{w_2} = 9 \Leftrightarrow {w_1}{\overline w _1} = 9 \Leftrightarrow }$ $\boxed{|w_1|=|w_2|=3}$

iii) Έστω w_1=a+bi

, με

.

$\displaystyle{\frac{{{w_1} - 3i}}{{{w_1} + 3i}} = \frac{{a + (b - 3)i}}{{a + (b + 3)i}} = \frac{{[a + (b - 3)i][a - (b + 3)i]}}{{{a^2} + {{(b + 3)}^2}}} = }$

$\displaystyle{\frac{{{a^2} + {b^2} - 9}}{{{a^2} + {{(b + 3)}^2}}} + \frac{{ - 6a}}{{{a^2} + {{(b + 3)}^2}}}i\mathop \Leftrightarrow \limits^{{a^2} + {b^2} = 9} }$ $\boxed{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{{w_1} - 3i}}{{{w_1} + 3i}}} \right) = 0}$

iv) Έστω K(a,b), L(a, -b), Q(w_3)

οι εικόνες των w_1, w_2, w_3

με $\displaystyle{{w_1} = {\overline w _2}}$

$\displaystyle{{w_3} = 3\frac{{3{w_1} - {w_1}}}{{{{\overline w }_1} - 3{{\overline w }_1}}} = - \frac{{3{w_1}}}{{{{\overline w }_1}}} = - \frac{{3w_1^2}}{{{w_1}{{\overline w }_1}}} = - \frac{{w_1^2}}{3}}$

Για να είναι τα σημεία K, L, Q

ομοκυκλικά, αρκεί να μην είναι συνευθειακά.
Τα K, L

ανήκουν στην ευθεία x=a

. Αρκεί να δείξουμε ότι το

δεν είναι σημείο αυτής της ευθείας με την προϋπόθεση ότι τα σημεία είναι διαφορετικά μεταξύ τους.

$\displaystyle{{w_3} = - \frac{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}{3} = \frac{{9 - 2{a^2}}}{3} - \frac{{2ab}}{3}i \Leftrightarrow Q\left( {\frac{{9 - 2{a^2}}}{3},\frac{{-2ab}}{3}} \right)}$

Έστω ότι $\displaystyle{\frac{{9 - 2{a^2}}}{3} = a \Leftrightarrow 2{a^2} + 3a - 9 = 0 \Leftrightarrow a = - 3 \vee a = \frac{3}{2}}$

Αν a=-3

, τότε

που είναι άτοπο γιατί $\displaystyle{{w_1} \notin R}$

Αν $\displaystyle{a = \frac{3}{2}}$ , τότε $\displaystyle{Q\left( {\frac{3}{2}, - b} \right) \equiv L}$ . Άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

ε)i) .

$\displaystyle{x = 5m - 1 \Leftrightarrow 2x = 10m - 2,y = - 10m - 3}$ και με πρόσθεση κατά μέλη, $\boxed{2x+y+5=0}$ , που είναι και η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας.

Για u_2=x+yi

, $\displaystyle{|x - 1 + yi| = x + 1 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} = {(x + 1)^2}}$ , απ' όπου έχουμε την εξίσωση της παραβολής $\boxed{y^2=4x}$

ii) Η ελάχιστη τιμή του |z-u_1|

είναι

(η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία, μείον την ακτίνα)

$\displaystyle{d = \frac{{|2 \cdot 3 - 4 + 5|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{7\sqrt 5 }}{5}}$ . Άρα: $\boxed{\min |z - {u_1}| = \frac{{7\sqrt 5 - 10}}{5}}$

: Θέμα Μιγαδικών.2png.png (14.12 KiB) Προβλήθηκε 2174 φορές

(*) Έστω S(x,y)

το σημείο της παραβολής που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία $(\epsilon)$ .

H απόσταση είναι $\displaystyle{SE = \frac{{|2x + y + 5|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{|\frac{{{y^2}}}{2} + y + 5|}}{{\sqrt 5 }}}$

Το τριώνυμο $\displaystyle{f(y) = \frac{{{y^2}}}{2} + y + 5}$ παρουσιάζει ελάχιστη τιμή για y=-1

, ίση με $\displaystyle{f( - 1) = \frac{1}{2} - 1 + 5 = \frac{9}{2}}$

Άρα: $\boxed{\min |{u_1} - {u_2}| = \frac{{9\sqrt 5 }}{{10}}}$

(*) Άλλαξα τη λύση σ' αυτό το ερώτημα και διέγραψα την προηγούμενη, επειδή ήταν λάθος.
Ευχαριστώ τον Θανάση (thanasis kopadis) για το μήνυμά του.

thanasis kopadis · #3

Καλημέρα Γιώργο. Αυτό δεν είναι λύση.... πίνακας ζωγραφικής είναι!

#4

thanasis kopadis έγραψε:Καλημέρα Γιώργο. Αυτό δεν είναι λύση.... πίνακας ζωγραφικής είναι!

Σ' ευχαριστώ Θανάση, να' σαι καλά.

Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Re: Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Re: Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Re: Θέμα Μιγαδικών για Επανάληψη

Μέλη σε σύνδεση