Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

#1

Αν $\displaystyle{\displaystyle z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 0 }$ και $\displaystyle{\displaystyle |z_1 | = |z_2 | = |z_3 | = |z_4 | = 1 }$ , να αποδείξετε οτι οι εικόνες των $\displaystyle{\displaystyle z_1 ,z_2 ,z_3 ,z_4 }$ , είναι κορυφές ορθογωνίου.

#2

...και διάφοροι ανά δύο;

#3

Φυσικά και διάφοροι ανα δύο , γιατί αλλιώς πως να έχουμε το ορθογώνιο; Παράλειψή μου. Συγνώμη κι ευχαριστώ πολύ Κώστα!

#4

Από την σχέση z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 0

έχουμε ότι

$\bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} + \bar{z_4} = 0$ ή $\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}+\frac{1}{z_{4}}=0$ ( |z_1 | = |z_2 | = |z_3 | = |z_4 | = 1

) το οποίο είναι ισοδύναμο με z_2z_3z_4+z_1z_3z_4+z_1z_2z_4+z_1z_2z_3=0.

Από την προηγούμενη σχέση κάνοντας πράξεις και χρησιμοποιώντας ότι z_1 + z_2 =- (z_3 + z_4)

καταλήγουμε ισοδύναμα $(z_1+z_2)(z_{3}z_4-z_1z_2)=0.$ (*)

Έχουμε λοιπόν:

Αν z_1+z_2=0

τότε και

, δηλαδή οι εικόνες των z_1

και

, καθώς και των z_3

και

είναι αντιδιαμετρικά σημεία (οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο). Άρα είναι κορυφές ορθογωνίου.

Αν $z_1+z_2\neq0$ , τότε από την (*) έχουμε

$z_{3}z_4-z_1z_2=0$ ή $z_1z_2=z_{3}z_4=z_3(-z_{1}-z_2-z_3)$ , δηλαδή z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3+z_3^2=0

και ισοδύναμα (z_1+z_2)(z_3+z_4)=0

. Άρα

ή

, άτοπο αφού $z_1+z_2\neq0$ .

Σε κάθε λοιπόν περίπτωση οι εικόνες των μιγαδικών είναι αντιδιαμετρικά σημεία. Άρα κορυφές ορθογωνίου.

Νικόλαος Κατσίπης

#5

nkatsipis έγραψε:Από την σχέση έχουμε ότι

$\bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} + \bar{z_4} = 0$ ή $\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}+\frac{1}{z_{4}}=0$ () το οποίο είναι ισοδύναμο με

Από την προηγούμενη σχέση κάνοντας πράξεις και χρησιμοποιώντας ότι καταλήγουμε ισοδύναμα $(z_1+z_2)(z_{3}z_4-z_1z_2)=0.$ (*)

..................................
Νικόλαος Κατσίπης

Στη σχέση (*) φτάνουμε επίσης από την |z_1+z_2|^2 = |z_3+z_4|^2

αναπτύσσοντας και κάνοντας λίγα ... παιγνιδάκια με τους συζυγείς και την a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab

και στα δύο μέλη.

Νίκο, ωραία λύση !

#6

nkatsipis έγραψε: Αν τότε και , δηλαδή οι εικόνες των και , καθώς και των και είναι αντιδιαμετρικά σημεία (οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο). Άρα είναι κορυφές ορθογωνίου.

Αν $z_1+z_2\neq0$ , τότε από την (*) έχουμε

$z_{3}z_4-z_1z_2=0$ ή $z_1z_2=z_{3}z_4=z_3(-z_{1}-z_2-z_3)$ , δηλαδή και ισοδύναμα .
Άρα το οποίο απορρίπτεται γιατί είμαστε στην περίπτωση $z_1+z_2\neq0$

ή πάλι απορρίπτεται γιατί τότε θα ήταν .

άρα δεκτή μόνο η πρώτη περίπτωση

#7

joulia1961 έγραψε:
nkatsipis έγραψε: Αν τότε και , δηλαδή οι εικόνες των και , καθώς και των και είναι αντιδιαμετρικά σημεία (οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο). Άρα είναι κορυφές ορθογωνίου.

Αν $z_1+z_2\neq0$ , τότε από την (*) έχουμε

$z_{3}z_4-z_1z_2=0$ ή $z_1z_2=z_{3}z_4=z_3(-z_{1}-z_2-z_3)$ , δηλαδή και ισοδύναμα .
Άρα το οποίο απορρίπτεται γιατί είμαστε στην περίπτωση $z_1+z_2\neq0$

ή πάλι απορρίπτεται γιατί τότε θα ήταν .
άρα δεκτή μόνο η πρώτη περίπτωση

Σε ευχαριστώ Φωτεινή! Το πρόσθεσα στο μηνυμα!

Νικόλαος Κατσίπης

#8

Γεωμετρικά μπορούμε να αποδείξουμε την άσκηση αυτή με την άμεση παρατήρηση ότι το μέσο κάθε χορδής που ορίζουν οι εικόνες δύο από τους μιγαδικούς αυτούς είναι συμμετρικό, ως προς την αρχή Ο, του μέσου της χορδής που ορίζουν οι εικόνες των δύο άλλων μιγαδικών.Αν αυτά συμπίπτουν με το Ο, τότε οι χορδές είναι διάμετροι, αλλιώς είναι παράλληλες κλπ.

#9

Μία παραλλαγή:
Αν τέσσερεις (διάφοροι ανά δύο και μη μηδενικοί) μιγαδικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 0 και το ίδιο συμβαίνει με τους αντίστροφούς τους, τότε οι εικόνες τους είναι κορυφές παρ/μου.

Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Re: Παλιά αλλά καλή με μιγαδικούς.

Μέλη σε σύνδεση