Προπόνηση σε μιγαδικούς

kostas136 · #1

Έστω $z_1, z_2, z_3 \in C$ μη μηδενικοί για τους οποίους ισχύει:
$\displaystyle \frac{z_1}{7+4i}=\frac{z_2}{1+2i}=\frac{z_3}{1+3i}$

α) Να βρείτε τον $\displaystyle z=\frac{z_1}{z_1-6z_2+2z_3}$ και

β) Αν $\displaystyle w=\frac{2z}{1-i}+\frac{9+ai}{z}$ τότε βρείτε τον $a\in R$ ώστε $M(w)\in :y=-2x+3$

#2

Για το πρώτο, για να μη ξεχνάμε τις ιδιότητες των αναλογιών (φυσικά υπάρχουν και άλλοι τρόποι):

Έχουμε

$\displaystyle{\frac{z_{1}}{7+4i}=\frac{z_{2}}{1+2i}=\frac{z_{3}}{1+3i}}$

άρα

$\displaystyle{\frac{z_{1}}{7+4i}=\frac{-6z_{2}}{-6-12i}=\frac{2z_{3}}{2+6i}=\frac{z_{1}-6z_{2}+2z_{3}}{3-2i}.}$

Επομένως,

$\displaystyle{\frac{z_{1}}{z_{1}-6z_{2}+2z_{3}}=\frac{7+4i}{3-2i}=\frac{(7+4i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{13+26i}{13}=1+2i.}$

Ωmega Man · #3

Εγώ για το πρώτο έθεσα την ισότητα των κλασμάτων ίση με $\bf c\in \mathbb{C}$ και πήρα

$\displaystyle{\bf \frac{(7+4i)c}{(7+4i)c-6(1+2i)c+2(1+3i)c}=\frac{(7+4i)}{(7+4i)-6(1+2i)+2(1+3i)}=\ldots=\frac{13+26i}{13}}$ .

Ωmega Man · #4

Για το δεύτερο (μάλλον κάνω λάθος) πιστεύω ότι η κατάσταση ξεφεύγει.

$\displaystyle{\color{orange}\rule{600pt}{1.5pt}}$

$\displaystyle{\bf w=z(1+i)+\frac{\bar{z}(9+ai)}{|z|^{2}}=\ldots=x-y+\frac{9x+ya}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\left[x+y+\frac{xa-9y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right]i}$

θέτουμε $\bf w=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$ και αντίστοιχα

$\displaystyle{\bf u(x,y)=x-y+\frac{9x+ya}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}$ και $\displaystyle{\bf v(x,y)=x+y+\frac{xa-9y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ . Για να ικανοποιείται η συνθήκη της εικόνας του $\bf w$ πρέπει

$\displaystyle{\bf v(x,y)=-2u(x,y)+3\Rightarrow \ldots \Rightarrow a=\left(\frac{x-2y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)^{-1}\left[\frac{18+9y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+3x+y+3\right]}$ .

$\displaystyle{\color{orange}\rule{600pt}{1.5pt}}$

Τα πράγματα αλλάζουν βέβαια αν ως $\bf z$ εννοεί τον σύνθετο αριθμό του πρώτου ερωτήματος, αλλά όπως είναι διατυπωμένο το ερώτημα είναι γενικό.

kostas136 · #5

Φίλοι μου, σας ζητώ χίλια συγνώμη για την ταλαιπωρία. Επειδή βιαζόμουν να φύγω, δεν έγραψα στο 1ο ερώτημα z=...

Σας ζητώ συγνώμη πραγματικά. Και να σκεφτεί κανείς ότι πρίν το υποβάλλω είχα ζητήσει προεπισκόπηση αλλά ούτε εκεί το πρόσεξα...

pito · #6

Για το (2) :

Είναι $w=\frac{2(1+2i)}{1-i}+\frac{9+ai}{1+2i}=\frac{2(1+2i)(1+i)}{2}+\frac{(9+ai)(1-2i)}{5}=...=(\frac{4+2a}{5})+(\frac{a-3}{5})i$

Για να ανήκει η εικόνα του

στην ευθεία y=-2x+3

θα πρέπει να είναι
$\frac{a-3}{5}=\frac{-2(4+2a)}{5}+3\Rightarrow ...\Rightarrow a=2$

Προπόνηση σε μιγαδικούς

Προπόνηση σε μιγαδικούς

Re: Προπόνηση σε μιγαδικούς

Re: Προπόνηση σε μιγαδικούς

Re: Προπόνηση σε μιγαδικούς

Re: Προπόνηση σε μιγαδικούς

Re: Προπόνηση σε μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση