Mιγαδικοί

nonlinear · #1

Μια δική μου εύκολη νομίζω

Αν $\displaystyle{z,w \in C}$ και $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \cdot {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) \ne 0}$ και $\displaystyle{w = {z^5}}$ να δείξετε οτι :

$\displaystyle{\frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( w \right)}}{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)}} - \frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)}} = 4 \left[ {{{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)} \right)}^4} - {{\left( {{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z)} \right)}^4}} \right]}$

(Ελπιζω να εχω κανει σωστα τις πραξεις).

#2

nonlinear έγραψε:Μια δική μου εύκολη νομίζω

Αν $\displaystyle{z,w \in C}$ και $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \cdot {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) \ne 0}$ και $\displaystyle{w = {z^5}}$ να δείξετε οτι :

$\displaystyle{\frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( w \right)}}{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)}} - \frac{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( w \right)}}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)}} = 4 \left[ {{{\left( {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)} \right)}^4} - {{\left( {{\mathop{\rm Im}\nolimits} (z)} \right)}^4}} \right]}$

(Ελπιζω να εχω κανει σωστα τις πραξεις).

Απο $z = r(\cos a + i\sin a)$ άρα $w = z = r^5(\cos 5a + i\sin 5a)$ το αριστερό μέλος είναι

$\displaystyle{\frac {r^4\sin 5a}{\sin a} - \frac {r^4\cos 5a}{\cos a} = ... = r^4((16\cos ^4a - 12\cos ^2a +1) - ( (16\cos ^4a - 20\cos ^2a +1)) = (8\cos ^2a -4)r^4}$

ίσον όσο το δεξί μέλος αφού $4\cos ^4a - 4\sin ^4a = 4\cos ^4a - 4( 1 -\cos ^2a)^2 = 8\cos ^2a -4$

Γίνεται και με σχολική ύλη, γράφοντας $z = x+iy, \, w= (x+iy)^5 = ...$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Φυσικά ο τρόπος του Μιχάλη είναι ο ενδεδειγμένος.
Μία προσπάθεια να απλοποιήσουμε τις πράξεις.
Θέτουμε w = a+bi και z = x+yi, τότε το πρώτο μέλος ισούται:

$\displaystyle{\frac{b}{y} - \frac{a}{x} = \frac{{bx - ay}}{{xy}} = \frac{1}{{xy}}{\mathop{\rm Im}\nolimits} (w\mathop z\limits^ - )}$
$\displaystyle{w = z^5 \Rightarrow w\overline z = z^4 z\overline z \Rightarrow w\overline z = z^4 \left| z \right|^2 \Rightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {w\overline z } \right) = \frac{{z^4 \left| z \right|^2 - z^4 \left| {\overline z } \right|^2 }}{{2i}} \Rightarrow }$
$\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {w\overline z } \right) = \frac{{(x^2 + y^2 )2(x^2 - y^2 )4xyi}}{{2i}} \Rightarrow {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {w\overline z } \right) = 4(x^4 - y^4 )xy}$
$\displaystyle{\frac{1}{{xy}}{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {w\overline z } \right) = 4({\mathop{\rm Re}\nolimits} ^4 z - {\mathop{\rm Im}\nolimits} ^4 z)}$

Φιλικά Χρήστος

Mιγαδικοί

Mιγαδικοί

Re: Mιγαδικοί

Re: Mιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση