Εξίσωση Ναί!!!

S.E.Louridas · #1

Να λυθεί στο σύνολο των μιγάδων η εξίσωση:

$\left| {\sqrt 2 (z - \left| {z + \sqrt 2 } \right|) + 1} \right| = \left| {\sqrt 2 (z + \left| z \right|) + 1} \right|.$

S.E.Louridas

hsiodos · #2

Γράφω μια λύση όχι τόσο κομψή(ελπίζω να μην χάνω κάτι)

$\displaystyle{ \left| {\,\sqrt 2 \left( {z - \left| {\,z + \sqrt {2\,} } \right|} \right) + 1\,} \right| = \left| {\,\sqrt 2 \left( {z + \left| {\,z\,} \right|} \right) + 1\,} \right| \Leftrightarrow \left| {\,\sqrt 2 z - \left| {\,\sqrt 2 z + 2} \right| + 1\,} \right| = \left| {\,\sqrt 2 z + \left| {\sqrt 2 \,z\,} \right| + 1\,} \right|\,\,(1)}$

Θέτουμε $\displaystyle{w = \sqrt 2 z + 1}$ οπότε $\displaystyle{ (1) \Leftrightarrow \left| {\,w - \left| {\,w + 1} \right|\,} \right| = \left| {\,w + \left| {w - 1\,} \right|\,} \right|\,\,\,(2)}$

Αρκεί να λυθεί η (2) ως προς w .

$\displaystyle{a = \left| {\,w + 1} \right| \Rightarrow a^2 = \left| {\,w\,} \right|^2 + 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) + 1\,\,\,\,(3)}$ και $\displaystyle{ \beta = \left| {\,w - 1} \right| \Rightarrow \beta ^2 = \left| {\,w\,} \right|^2 - 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) + 1\,\,\,\,(4)}$

$\displaystyle{ (2) \Leftrightarrow \left| {\,w - \alpha \,} \right|^2 = \left| {\,w + \beta \,} \right|^2 \Leftrightarrow \left| {\,w\,} \right|^2 - 2a{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) + a^2 = \left| {\,w\,} \right|^2 + 2\beta {\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) + \beta ^2}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w)(\beta + \alpha ) + \beta ^2 - a^2 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{(3),(4)} 2{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w)(\beta + \alpha ) - 4{\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) = 0 \Leftrightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} (w)(\beta + \alpha - 2) = 0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\mathop{\rm Re}\nolimits} (w) = 0\,\,\,\eta \,\,\,\,a + \beta = 2 \Leftrightarrow w = ki\,\,,\,k \in R\,\,\,\eta \,\,\,\,a + \beta = 2}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{a + \beta = \left| {\,w + 1} \right| + \left| {\,1 - w\,} \right| \ge \left| {\,(w + 1) + (1 - w)\,} \right| = 2}$ , οπότε:

$\displaystyle{ a + \beta = 2 \Leftrightarrow \left| {\,w + 1} \right| + \left| {\,1 - w\,} \right| = \left| {\,(w + 1) + (1 - w)\,} \right|\mathop \Leftrightarrow \limits^{\lambda > 0} w + 1 = \lambda (1 - w) \Leftrightarrow w = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda + 1}}\,\,,\,\,\lambda > 0}$

Επομένως $\displaystyle{ w = ki\,\,,\,k \in R\,\,\,\eta \,\,\,\,w = \frac{{\lambda - 1}}{{\lambda + 1}}\,\,,\,\,\lambda > 0}$

Γιώργος

#3

Πάμε για μία άλλη προσπάθεια...

Η εξίσωση εύκολα γίνεται:

$\displaystyle{ |z - (|z + \sqrt 2 | - \frac{1}{{\sqrt 2 }})| = |z - ( - |z| - \frac{1}{{\sqrt 2 }})| }$

Θέτοντας

$\displaystyle{ \begin{array}{l} k_1 = |z + \sqrt 2 | - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ k_2 = - |z| - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \end{array} }$

έχω:

$\displaystyle{ |z - k_1 | = |z - k_2 |,k_1 ,k_2 \in R }$

Μετά απο τις πράξεις προκύπτει:

$\displaystyle{ (k_2 - k_1 )[z + \overline z - (k_1 + k_2 )] = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 \vee z + \overline z = k_1 + k_2 }$

Το πρώτο απορρίπτεται γιατί προκύπτει:

$\displaystyle{ |z + \sqrt 2 | = - |z| }$

αδύνατο.

Απο τη δεύτερη σχέση αν z=x+yi,x,y πραγματικοί:

$\displaystyle{ 2x = |z + \sqrt 2 | - |z| - \sqrt 2 \Rightarrow |z + \sqrt 2 | - |z| = 2x + \sqrt 2 \Rightarrow \sqrt {(x + \sqrt 2 )^2 + y^2 } - \sqrt {x^2 + y^2 } = 2x + \sqrt 2 }$

απ'όπου πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με τη συζυγή παράσταση έχω:

$\displaystyle{ 2x + \sqrt 2 = 0 }$

ή

$\displaystyle{ \sqrt {(x + \sqrt 2 )^2 + y^2 } + \sqrt {x^2 + y^2 } = \sqrt 2 }$

Αν $\displaystyle{ x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} }$

τότε επαληθεύεται απο κάθε y πραγματικό δηλαδή ο z έχει τη μορφή:

$\displaystyle{ z = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} + yi,y \in R }$

Τώρα αν ισχύει η δεύτερη με πρόσθεση των δυο άρρητων παραστάσεων έχω:

$\displaystyle{ \sqrt {(x + \sqrt 2 )^2 + y^2 } = x + \sqrt 2 }$

απ'όπου για $\displaystyle{ x \ge - \sqrt 2 }$
έχω τελικά:
y=0

Δηλαδή $\displaystyle{ z = x,x \ge - \sqrt 2 }$
Η πρώτη επαληθεύει.

Η δεύτερη μάλλον όχι.

Ή είμαι πολύ κουρασμένος...

Καληνύχτα.

Y.Γ Η επαλήθευση μου δίνει πως ισχύει, αν και μόνο αν $\displaystyle{ - \sqrt 2 \le x \le 0 }$
Καλημέρα

Υ.Γ 2 Προφανώς και αυτό μπορούμε να το προβλέψουμε στη λύση μας αν στο σημείο που έχουμε:

$\displaystyle{ 2x + \sqrt 2 = |z + \sqrt 2 | - |z| \le |z + \sqrt 2 - z| = \sqrt 2 \Rightarrow 2x \le 0 \Rightarrow x \le 0 }$

και είμαστε οκ!(μέχρι αποδείξεως του εναντίου)

Εξίσωση Ναί!!!

Εξίσωση Ναί!!!

Re: Εξίσωση Ναί!!!

Re: Εξίσωση Ναί!!!

Μέλη σε σύνδεση