Ανισότητα με μιγαδικούς

nicolae · #1

Αν $z_1, z_2,...,z_n\in\mathbb{C},$ θεωρούμε $\displaystyle z_0=\frac{z_1+z_2+z_3+\cdots+z_n}{n}.$ Για κάθε $z\in\mathbb{C},$ να αποδείξετε ότι:
$|z_0-z_1|^2+|z_0-z_2|^2+\cdots+|z_0-z_n|^2\leq|z-z_1|^2+|z-z_2|^2+\cdots+|z-z_n|^2$

#2

Ονομάζουμε $g=z-z_{0},\,\,\,u_{i}=z_{0}-z_{i}$ . Προφανώς το άθροισμα των $u_{i}$ είναι

. Είναι τώρα $\left\vert z-z_{i}\right\vert ^{2}=\left\vert \left( z-z_{0}\right) +\left( z_{0}-z_{i}\right) \right\vert ^{2}=\left\vert g\right\vert ^{2}+\left\vert z_{0}-z_{i}\right\vert ^{2}+\left( \overline{u_{i}}g+u_{i}\overline{g}\right)$ . Αθροίζοντας έχουμε $\sum \left\vert z-z_{i}\right\vert ^{2}=n\left\vert g\right\vert ^{2}+\sum \left\vert z_{0}-z_{i}\right\vert ^{2}\geq \sum \left\vert z_{0}-z_{i}\right\vert ^{2}$ .
Σημείωση. Το z_0

είναι το κέντρο βάρους του πολυγώνου των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Η άσκηση μας λέει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων ενός σημείου από τις κορυφές ενός πολυγώνου είναι ελάχιστο όταν το σημείο γίνει το κέντρο βάρους του.
Μαυρογιάννης

Ανισότητα με μιγαδικούς

Ανισότητα με μιγαδικούς

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση